（その１６８）の変数を増やしてみる．１個付け加わえただけでかなり面倒になった．

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　　２（２^n−１）胞体　→　ｃｏｓδa＝−１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ^2

　　２^n＋２ｎ胞体　→　ｃｏｓδb＝−１／√ｎ，ｓｉｎδb＝√（ｎ−１）／ｎ

　　２^n＋２ｎ胞体　→　ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ^2

より，

　　ｕ＝−１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ^2

　　ｖ＝−１／√ｎ＋ｉ√（ｎ−１）／ｎ

　　ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋ｘｉ√（ｎ−１）／ｎ^2

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　３種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式は

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠ｋπ

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

と書くことができる．

　ｕ＝−１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ^2については，

　　ｕ＋１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ^2

より，ｕは２次方程式ｎｕ^2＋２ｕ＋ｎ＝０の解である．

　　ｎｕ^2＝２ｕ＋ｎ

　　ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2＋ｎ^2ｕ＝２（２ｕ＋ｎ）＋ｎ^2ｕ

　　　　　　＝（４＋ｎ^2）ｕ＋２ｎ

帰納法により

　　ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　ｎ）

を示すことが出来る．

　同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋ｉ２√（ｎ−１）／ｎ^2については，

　　ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ^2

より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，

　　ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2＝０　ｍｏｄ　ｎ）

　　ｖ＝−１／√ｎ＋ｉ√（ｎ−１）／ｎ

　　ｖ＋１／√ｎ＝ｉ√（ｎ−１）／ｎ

　　ｎｖ^2＋２√ｎｖ＋１＝０

　　ｎ^m-1ｖ^m＝ａ3ｖ＋ｂ3　　　（ａ3≠０，ｂ3＝０　ｍｏｄ　ｎ）

がいえる．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｗ^Ｎ2・ｎ^Ｎ3-1ｖ^Ｎ3

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1，ｎ^Ｎ3-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ2）＋Ａｒｇ（ｖ^Ｎ3）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2・ｖ^Ｎ3の虚部

　　Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2・ｖ^Ｎ3）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｗ＋ｂ2）（ａ3ｖ＋ｂ3）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

　　ａ2≠０，ｂ2＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

　　ａ3≠０，ｂ3＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着されれば，Ｎ1δa＋Ｎ2δc＋Ｎ3δbは有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低３種類という結論が主張できることになる．

　実際，

　　Ｉｍ＝ａ1√（ｎ^2−１）／ｎ^2｛（（−ａ2（ｎ−２）＋ｂ2ｎ）（−ａ3＋ｂ3√ｎ）／ｎ√ｎ−２（ｎ−２）＋２ａ2ａ3√（ｎ−１）／ｎ^2・√（ｎ−１）／ｎ｝

＋２ａ2√（ｎ−１）／ｎ^2｛（−ａ1＋ｂ1ｎ）（−ａ3＋ｂ3√ｎ）／ｎ√ｎ−ａ1ａ3√（ｎ^2−１）／ｎ^2・√（ｎ−１）／ｎ｝

＋√（ｎ−１）／ｎ｛（−ａ1＋ｂ1ｎ）（−（ｎ−２）ａ2＋ｂ2ｎ）／ｎ^2−

ａ1ａ2√（ｎ^2−１）／ｎ^2・√（ｎ−１）／ｎ^2｝

と展開されるが，ａ1（ａ2＋ｂ2ｎ）≠０により，Ｉｍ≠０がいえる．すなわち，ｎ（≧５）次元の正多胞体の元素数は≧３である．→ｎ＞３では，空間充填２^n＋２ｎ胞体と空間充填２（２^n−１）胞体は分解合同ではない．

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