正２ｎ胞体の二面角はつねに９０°であるが，正ｎ＋１胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ

正２^n胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ2＝（２√（ｎ−１））／ｎ

であり，二面角はｎとともに増加しそれぞ９０°，１８０°に近づく．

　今回のコラムでは２δ1＋２δ2＝３６０°となるのは３次元の場合に限られること，２δ2＝３６０°となるのは４次元の場合に限られることを証明しておこう．

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【１】３次元の特殊性

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−（ｎ−２）／ｎ^2−２（ｎ−１）√（ｎ＋１）／ｎ^2＝−１

　　ｎ^2−ｎ＋２＝２（ｎ−１）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2（ｎ−３）^2＝０

　すなわち，３次元において２δ1＋２δ2＝３６０°となるが，２種の二胞角で，その和が３６０°になり，空間充填形を構成できるのは，３次元の場合だけである．

　　ａｒｃｃｏｓ（１／３）＋ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝

　＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）＋π−ａｒｃｃｏｓ（１／３）＝π

となって，解析的にも確かめられた．

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【２】４次元の特殊性

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ＝−１／２

よりｎ＝４．すなわち，４次元正１６細胞体の二胞角はちょうど１２０°となる．

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【３】まとめ

　超立方体は各次元で空間充填形であるが，以上のことから，複数の種類による空間充填形として２種の胞間の角の和が３６０°になるのは，ｎ≧３のとき，

［１］２α3＋２β3＝３６０°

［２］３β4＝３６０°

［３］α8＋２β8＝３６０°

の場合だけである．これは空間充填の必要条件だが十分条件も満たす，すなわち，実際の空間充填形を構成することができる．

　正多面体で空間充填形になるのは，各次元で可能な超立方体を除けば，３，４，８次元のものに尽きるのである．なお，２４次元にはリーチ格子という密な格子があるが，その構成要素は正多面体ではない（亜正多面体とでもいうべきか？）．

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