ｍδ4＝ｍ1δ1＋ｍ2δ2　　（ｍｏｄπ）

でなくて，

　　ｍδ4＝ｍ2δ2　　（ｍｏｄπ）

でも十分であると思われる．

　これはｎ（≧５）次元の正多胞体元素定理の証明とそっくりである．すなわち，・・・

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　　正ｎ＋１胞体　→　ｃｏｓδa＝１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ

　　正２ｎ胞体　→　ｃｏｓδb＝０，ｓｉｎδb＝１

　　正２^n胞体　→　ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ

より，

　　ｕ＝１／ｎ＋√（ｎ^2−１）／ｎｉ

　　ｖ＝ｉ

　　ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋√（ｎ−１）／ｎｉ

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　３種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠ｋπ

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

は，δb＝π／２より，

　　Ｎ1δa＋Ｎ2δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．

　ｕ＝１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎについては，

　　ｕ−１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ

より，ｕは２次方程式ｎｕ^2−２ｕ＋ｎ＝０の解である．

　　ｎｕ^2＝２ｕ−ｎ

　　ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2−ｎ^2ｕ＝２（２ｕ−ｎ）−ｎ^2ｕ

　　　　　　＝（４−ｎ^2）ｕ−２ｎ

帰納法により

　　ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　ｎ）

を示すことが出来る．

　同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋２√（ｎ−１）／ｎｉについては，

　　ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ

より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，

　　ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2＝０　ｍｏｄ　ｎ）

がいえる．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｗ^Ｎ2

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ2）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2の虚部

　　Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｗ＋ｂ2）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

　　ａ2≠０，ｂ2＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着されれば，Ｎ1δa＋Ｎ2δcは有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低３種類という結論が主張できることになる．実際，

　　Ｉｍ＝√（ｎ−１）／ｎ^2｛２ａ2（ａ1＋ｂ1ｎ）＋ａ1（ａ2＋ｂ2ｎ）√（ｎ−１）｝

と展開されるが，ａ1（ａ2＋ｂ2ｎ）≠０により，Ｉｍ≠０がいえる．すなわち，ｎ（≧５）次元の正多胞体の元素数は≧３である．→ｎ＞３では，空間充填２^n＋２ｎ胞体と空間充填２（２^n−１）胞体は分解合同ではない．

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