ポアンカレ予想は「任意の３次元閉多様体Ｍ^3は３次元球面Ｓ^3に同相か？」というトポロジーに関する問いかけである．トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなものを研究する分野であるが，３次元空間に浮かんだタマゴのような２次元曲面（２次元多様体）は２次元球面Ｓ^2と同相である．コーヒカップのように取っ手をもつ立体は球と同相ではない．

　１９６１年，ゼーマンは５次元立体に対するポアンカレ予想を肯定的に証明した．同年スメールは７次元以上のすべての立体に対して，翌年ストーリングスは６次元立体に対して，１９８２年，フリードマンが４次元立体に対する証明を与えた．これで残るはただひとつ，４次元空間に浮かんだ３次元立体だけとなった．４次元空間における３次元曲面（３次元多様体）が３次元球面Ｓ^3と同相であるかどうか，答えはまだ明らかではないのである．

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　２００３年春にロシアの数学者ペレルマンがポアンカレ予想を解決したというニュースが伝えられました．当時，ポアンカレ予想はサーストンの幾何化予想の系として解決されたとアナウンスされ，その後，専門家の間で彼のプレプリントが検討され，証明をチェックする作業に遅れがでているものの全体としては解決の方向に向かっていることが確認されているとのことでした．

　サーストンの幾何化予想とは，３次元多様体は８つの異なる基本的要素に分解できるというもので，サーストンはいくつかの仮定の上でこの予想を証明しました．この業績のためにサーストンは１９８３年にフィールズ賞を受けています．また，ハミルトンはリッチ流を利用して，いくつかの制約条件のもとで，３次元多様体の基本的要素は８つの形しか取りえないことを証明しました．しかし，仮定なしの一般的バージョンに関する限り，依然として未証明だったのです．

　ペレルマンは，リッチ流の理論をサーストンの幾何化予想の一般的バージョンに拡張させることに成功したのです．ペルレマンの証明に対しては詳細な検証が必要ですが，これまでのところ，証明の欠陥はみつかっていません．どうやら正しいらしいというのが大方の見解のようです．したがって，もっとも早く解決しそうなのはポアンカレ予想らしい・・・．

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　ポアンカレ予想は２０００年５月にアメリカのクレイ数学研究所が七つのミレニアム懸賞問題のひとつに指定したほど重要なものと考えられていて，問題の最初の解決者に対して１００万ドルの賞金が与えられることになっています．この高額の懸賞金はペレルマンが手にするだろうことは確実視されていました．ところが，当のペレルマン自身はその後もプレプリントをどの学術雑誌にも投稿する素振りも見せていないことが気にかかっておりました．

　２００６年のそのようなとき，ペルレマンの幾何学への貢献とリッチ流の解析的かつ幾何的構造への革命的洞察に対して，フィールズ賞授与が決定したのですが，当の本人がフィールズ賞を辞退したことは大きなニュースになりました．新聞などでも話題になりましたから，多くの読者が知っていることでしょう．

　報道によれば数学者としても引退してしまったとのことで，数学史談の格好の話題となることは間違いありません．天才の心境は推し量れませんが，彼は１００万ドルの懸賞金も辞退するのでしょうか？　下世話な話ですが，１００万ドルの行方とともに今後の成り行きに興味がもたれます．

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