１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形はどの２点間の距離も等しい３点配置である．どの２点間の距離も等しい４点配置は存在しない．

　つぎに，正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる（もうひとつの正方形と正五角形の特殊性）．　√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．

　正六角形の場合，辺と対角線の長さの比は１：√３，１：２となる．１：√３には白金比という呼び名もあるらしい．正六角形では距離は３種類あり，距離を２種類と限れば５点配置が最大となる．

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　ｄ次元空間において，どの２点間の距離も２種類のみのｎ点配置を考えるとｎの最大値は

　　ｄ（ｄ＋１）／２≦ｎ（ｄ）≦（ｄ＋１）（ｄ＋４）／２

で与えられるという．

　ｄ＝２のとき，正しい値５であるが，３≦ｎ（ｄ）≦９となる．もう少しうまくやると

　　ｄ（ｄ＋１）／２≦ｎ（ｄ）≦（ｄ＋１）（ｄ＋２）／２

に改善できるという．これであれば，ｄ＝２のとき，３≦ｎ（ｄ）≦６となる．

　　［参］マトウシェク「３３の素敵な数学小景」日本評論社

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