以前，最大次数多面体について調べたことがあった．それは正単体系，正軸体系とも

　　（０，１，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０，０）

　　（０，０，１，０，０，０）

と続くもので，正単体系では

［１］ｎが奇数のとき，ｍ＝（ｎ＋１）^2／４

［２］ｎが偶数のとき，ｍ＝ｎ（ｎ＋２）／４

　正軸体系では

［１］ｎが奇数のとき，ｍ＝（ｎ^2−１）／２

［２］ｎが偶数のとき，ｍ＝ｎ^2／２

となった．

　最大面数多面体は，いずれの場合も

　　（１，１，・・・、１，１）

であって，正単体系では面数２（２^n−１），正軸体系では３^n−１となるのは明らかである．最大面数多面体（１，１，・・・、１，１）も次数はｎ（単純多面体）であるから，最少次数になる．

　一方，最少面数多面体は，いずれの場合も切頂型（２ｎ−１種類）であって，正単体系では面数２（ｎ＋１），正軸体系では２^n＋２ｎとなる．ここでは切頂型ひとつの頂点まわりに集まる辺数が最大となる場合を調べてみる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】頂点次数

　　ｍ＝Σｓjｓj+1＋ｓr・ｓr+1　　（正軸体系で最後の要素が０の場合）

　　ｍ＝Σｓjｓj+1＋ｓr　　　　　　（それ以外）

であるから

［１］正単体系切頂型（０，・・・，０，１，０、・・・０）

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）＋（ｔｐ＋１）

　　　＝（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ）

［２］正単体系切頂型（０，・・・，０，１，１，０、・・・０）

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）＋（ｎ−ｔｐ−２）＋１＝ｎ

［３］正軸体系切頂型（０，・・・，０，１，０、・・・０）

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）＋（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）

　　　＝２（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）

［４］正軸体系切頂型（０，・・・，０，１，１，０、・・・０）

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）＋（ｎ−ｔｐ−２）＋（ｎ−ｔｐ−２）

　　　＝（ｔｐ＋１）＋２（ｎ−ｔｐ−２）

　　　＝（ｔｐ＋１）＋２（ｎ−ｔｐ−１）−２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正単体系

　［２］は一定であるから［１］について調べればよい．

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ）＝−ｔｐ^2＋（ｎ−１）ｔｐ＋ｎ

＝−（ｔｐ−（ｎ−１）／２）^2＋｛（ｎ−１）／２｝^2＋ｎ

　したがって，ｎが奇数ならば，ｔｐ＝（ｎ−１）／２のとき，

　　最大値｛（ｎ−１）／２｝^2＋ｎ＞ｎ

偶数ならがｔｐ＝（ｎ−１）／２±１／２のとき

　　最大値｛（ｎ−１）／２｝^2＋ｎ−１／４＞ｎ

となって，冒頭と一致する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正軸体系

　［３］−［４］＝（ｔｐ＋１）・２（ｎ−ｔｐ−１）−（ｔｐ＋１）−２（ｎ−ｔｐ−１）＋２

＝ｔｐ・（２（ｎ−ｔｐ−１）−１）＋１＞０

したがって，［３］について調べればよい．

　　ｍ＝（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）＋（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）

　　　＝２（ｔｐ＋１）（ｎ−ｔｐ−１）

＝−２（ｔｐ^2−（ｎ−２）・ｔｐ−ｎ＋１）

＝−２（（ｔｐ−（ｎ−２）／２）^2−（（ｎ−２）／２）^2−ｎ＋１）

　ｎが偶数ならば，ｔｐ＝（ｎ−２）／２のとき，

　　最大値２｛（ｎ−２）／２）^2＋ｎ−１｝

偶数ならがｔｐ＝（ｎ−２）／２±１／２のとき

　　最大値２｛（（ｎ−２）／２）^2＋ｎ−１−１／４｝

となって，冒頭と一致する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝