以前，最大次数多面体について調べたことがあった．それは正単体系，正軸体系とも

　　（０，１，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０，０）

　　（０，０，１，０，０，０）

と続くもので，正単体系では

［１］ｎが奇数のとき，ｍ＝（ｎ＋１）^2／４

［２］ｎが偶数のとき，ｍ＝ｎ（ｎ＋１）／４

　正軸体系では

［１］ｎが奇数のとき，ｍ＝（ｎ^2−１）／２

［２］ｎが偶数のとき，ｍ＝ｎ^2／２

となった．

　最大面数多面体は，いずれの場合も

　　（１，１，・・・、１，１）

であって，正単体系では面数２（２^n−１），正軸体系では３^m−１となるのは明らかである．ここではひとつの頂点まわりに集まるファセット数が最大となる場合を調べてみたい．最大面数多面体（１，１，・・・、１，１）ではｎであるから，これには該当しない．

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　その数は，たとえば正多面体や単体的多面体のように１種類のファセットでできていれば簡単であるが，一般の準正多面体では２種類以上の多面体が集まるから厄介である．

　これまでの結果から

　　第０項：（ｔｐ＋１，１）

　　第ｎ−１項：正軸体では２^n-1-fp，正単体では（ｎ−ｆｐ，１）

　　中間の１の位置には１

　　中間の０の位置には，０の位置をポインタとして

　　（ｍ＋１，１），（ｍ＋１，２），・・・（ｍ＋１，ｍ）

であるから，正単体系では（１，０，・・・，０，１）であることは明らかである．

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【１】正単体系

［１］｛３，３｝（１，０，１）

　　ｆ2＝（１／３＋２／４＋１／３）ｆ0＝４＋６＋４＝１４

［２］｛３，３，３｝（１，０，０，１）

　　ｆ3＝（１／４＋３／６＋３／６＋１／４）ｆ0＝５＋１０＋１０＋５＝３

［３］｛３，３，３，３｝（１，０，０，０，１）

　　ｆ4＝（１／５＋４／８＋６／９＋４／８＋１／５）ｆ0＝６＋１５＋２０＋１５＋６

［４］｛３，３，３，３，３｝（１，０，０，０，０，１）

　　ｆ5＝（１／６＋５／１０＋１０／１２＋１０／１２＋５／１０＋１／６）ｆ0＝７＋２１＋３５＋３５＋２１＋７＝１２６

のように，２^n-1個が最大となる．もちろん，

｛３，３｝（０１０）；ｆ2＝（２／３＋２／３）ｆ0＝４＋４＝８

のように，それ以外のケースもあるが一般的でない．

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【２】正軸体系

［１］｛３，４｝（１，０，０）

　　ｆ2＝（０／１＋０／２＋４／３）ｆ0＝（６）＋（１２）＋８＝８

［２］｛３，３，４｝（１，０，０，０）

　　ｆ3＝（０／１＋０／２＋０／３＋８／４）ｆ0＝（８）＋（２４）＋（３２）＋１６＝１６

［３］｛３，３，３，４｝（１，０，０，０，０）

　　ｆ4＝（０／１＋０／２＋０／３＋０／４＋１６／５）ｆ0＝（１０）＋（４０）＋（８０）＋（８０）＋３２＝３２

は，２^n-1となる．

　（１，０，・・・，０，１）では２^n-1であるから，それと等しい．たとえば，

［４］｛３，４｝（１，０，１）

　　ｆ2＝（１／４＋２／４＋１／３）ｆ0＝６＋１２＋８＝２６

［５］｛３，３，４｝（１，０，０，１）

　　ｆ3＝（１／６＋３／８＋３／６＋１／４）ｆ0＝８＋２４＋３２＋１６＝８０

［６］｛３，３，３，４｝（１，０，０，０，１）

　　ｆ4＝（１／１６＋４／１６＋６／１２＋４／８＋１／５）ｆ0＝１０＋４０＋８０＋８０＋３２＝２４２

それでも，準正多面体に限るならば（１，０，・・・，０，１）が最大である．

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【３】散在型

［１］｛３，５｝（１，０，０）

　　ｆ2＝（０／１＋０／２＋５／３）ｆ0＝（１２）＋（３０）＋２０＝２０

［２］｛３，５｝（１，０，１）

　　ｆ2＝（１／５＋２／４＋１／３）ｆ0＝１２＋３０＋２０＝６２

Ｈ3では（１００）＞（１０１）である．

［３］｛３，３，５｝（１，０，０，０）

　　ｆ3＝（０／１＋０／２＋０／３＋２０／４）ｆ0＝（１２０）＋（７２０）＋（１２００）＋６００＝６００

［４］｛３，３，５｝（１，０，０，１）

　　ｆ3＝（１／２０＋３／１０＋３／６＋１／４）ｆ0＝１２０＋７２０＋１２００＋６００＝２６４０

Ｈ4でも（１０００）＞（１００１）である．

［５］｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　　ｆ3＝（０／１＋０／２＋０／３＋６／６）ｆ0＝（２４）＋（９６）＋（９６）＋２４＝２４

　　６は｛３，４｝（１，０，０）の頂点数の頂点数＝６

［６］｛３，４，３｝（１，０，０，１）

　　ｆ3＝（１／６＋４／６＋４／６＋１／６）ｆ0＝（２４）＋（９６）＋（９６）＋２４＝２４

Ｆ4では（１０００）＜（１００１）である．

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【４】まとめ

　最大次数多面体と頂点回りのファセット最大となる多面体は（３次元を除いて）一致しない．

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