レムニスケート（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ａ^2（ｘ^2−ｙ^2）の表わし方として

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φ，ｘ^2−ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^4φ

を用いれば，

　　ｘ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φ（１−ｓｉｎ^2φ／２）

　　ｙ^2＝ａ^2ｃｏｓ^2φｓｉｎ^2φ／２

　ここで，（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2を計算すれば，ｋ＝１／√２の第１種楕円積分

　　ｄｓ＝ａ／√２・ｄφ／（１−ｓｉｎ^2φ／２）＝ａ／√２Ｆ（１／√２，φ）

を得ることができる．したがって，レムニスケートの全長は

　　ｓ＝４ａ／√２Ｋ（１／√２）

　また，セレー（微分幾何のフレネー・セレーの公式で有名）にしたがって

　　ｘ＝ａ（ｚ＋ｚ^3）／（１＋ｚ^4），ｙ＝ａ（ｚ−ｚ^3）／（１＋ｚ^4）とパラメトライズした場合，

　　ｘ^2＋ｙ^2＝２ａ^2ｚ^2／（１＋ｚ^4）

　　ｘ^2−ｙ^2＝４ａ^2ｚ^4／（１＋ｚ^4）^2

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2＋（ｄｙ）^2＝２ａ^2ｄｚ／（１＋ｚ^4）

より，

　　∫(z,1)ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2＝１／２Ｆ（１／√２，φ）

　ガウスは

　　ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）

　　ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2

より，レムニケートの弧長を

　　∫ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2

で表したが，このように∫ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2によっても表すことができて，

　　１／√２Ｆ（１／√２，φ）

　＝∫(c,1)ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2＝√２∫(z,1)ｄｚ／（１＋ｚ^4）^1/2

なる関係を得ることができる．ここで，

　　ｃ＝ｃｏｓφ＝√２ｚ／（１＋ｚ^4）^1/2

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