［１］３次曲線のパラメータ表示例

　デカルトの正葉線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）では，ｙ／ｘ＝ｔ，すなわちｙ＝ｔｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　ｘ＝３ａｔ／（１＋ｔ^3），ｙ＝３ａｔ^2／（１＋ｔ^3）

この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．

　しかし，このままではｔとの対応が悪く

　　ｘ＝３ａ（１−ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3），

　　ｙ＝３ａ（１＋ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3）

の方がきれいに描くことができます．

　さらに，

　　ｘ＝ａｔ^2（１−ｔ）／（ｔ^3＋（１−ｔ）^3），

　　ｙ＝ａｔ（１−ｔ）^2／（ｔ^3＋（１−ｔ）^3），

と書くこともできます．

　　ｔ^3＋（１−ｔ）^3＝１−３ｔ＋３ｔ^2

ですから，上記とは別表示になっていることがわかります．

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［２］４次曲線のパラメータ表示例

　レムニスケートは

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4）

のようにパラメトライズすることができます．

　ａ＝１／√２のとき，レムニスケート：ｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

ここで，

ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

とおくと，

　　ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができますというわけです．

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　レムニスケート：極座標系でｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標系で（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，三角関数を用いて

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

とパラメトライズされるのですが，ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

を使うと

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

と表示されますから，

　　ｘ＝（１−ｔ^4）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4）

　　ｙ＝２ｔ（１−ｔ^2）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．このように，パラメトライズの仕方は１通りではありません．

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　次に，もう一つ別のパラメトライズをみてみましょう．レムニスケートは４次曲線ですが，原点（０，０）が有理点ですから，ｙ＝ｍｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　（１＋ｍ^2）^2ｘ^4＝（１−ｍ^2）ｘ^2

　　ｘ＝（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）

　　ｙ＝ｍ（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）

ｍ＝ｔａｎθですから，ｔ＝ｔａｎ（θ／２）を使うと

　　ｍ＝２ｔ／（１−ｔ^2）

　　ｘ＝（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2

　　ｘ＝２ｔ（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2（１−ｔ^2）

と置き換えることもできます．

　あるいは，ｒ^4＝ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θより，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ｃｏｓθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｓｉｎθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4

ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｒ＝（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

を使って置き換えることもできるでしょう．すると

　　ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

　　ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

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