任意の準正多面体について，頂点周囲に集まるファセット数を調べてきたが，とくに空間充填多面体について以前の記事と整合しているかどうかを確認してみる．

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［１］空間充填２（２^n−１）胞体

　｛３，３，３｝（１，１，１，１）

　　ｆ3＝（１／２４＋１／１２＋１／１２＋１／２４）ｆ0＝５＋１０＋１０＋５＝３０

　　２４は｛３，３｝（１，１，１）の頂点数

　　１２は｛３｝（１，１）×｛｝（１）の頂点数＝６×２＝１２

　一般に，空間充填２（２^n−１）ではｎであることが（その１１９）で確かめられている．

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［２］立方体

　｛３，４｝（０，０，１）

　　ｆ2＝（３／４＋０／２＋０／１）ｆ0＝６＋（１２）＋（８）＝４

　　４は｛４｝（０，１）の頂点数＝４

　　２は｛｝（１）×｛｝（０）の頂点数＝２×１＝２

　　１は｛３｝（０，０）の頂点数＝１

　｛３，３，４｝（０，０，０，１）

　　ｆ3＝（４／８＋０／４＋０／３＋０／１）ｆ0＝８＋（２４）＋（３２）＋（１６）＝８

　　１は｛３，４｝（０，０，１）の頂点数＝８

　　４は｛４｝（０，１）×｛｝（０）の頂点数＝４×１＝４

　　３は｛｝（１）×｛３｝（０，０）の頂点数＝２×１＝２

　　１は｛３，３｝（０，０，０）の頂点数＝１

　｛３，３，３，４｝（０，０，０，０，１）

　　ｆ4＝（５／１６＋０／８＋０／３＋０／４＋０／５）ｆ0＝（１０）＋（４０）＋（８０）＋（８０）＋（３２）＝６

　　１６は｛３，３，４｝（０，０，０，１）の頂点数＝１６

　　８は｛３，４｝（０，０，１）×｛｝（０）の頂点数＝８×１＝８

　　３は｛４｝（０，１）×｛３｝（０，０）の頂点数＝４×１＝３

　　４は｛｝（１）×｛３，３｝（０，０，０）の頂点数＝２×１＝２

　　５は｛３，３，３｝（０，０，０，０）の頂点数＝１

　立方体は頂点図形が正単体であるから，頂点周囲のファセット数はｎである．ただし，二面角が９０°であるから，空間充填では点接触，辺接触のものも考慮する必要がある．

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［３］正１６胞体

　｛３，３，４｝（１，０，０，０）

　　ｆ3＝（０／１＋０／２＋０／３＋８／４）ｆ0＝（８）＋（２４）＋（３２）＋１６＝１６

　　１は｛３，４｝（０，０，０）の頂点数＝１

　　２は｛４｝（０，０）×｛｝（１）の頂点数＝１×２＝２

　　３は｛｝（０）×｛３｝（１，０）の頂点数＝１×３＝３

　　４は｛３，３｝（１，０，０）の頂点数＝４

　（その１４０）において，正１６胞体では８であることがわかったが，（その４６）にも，正１６胞体では

　ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

であることを用いて，

　ｎ＝４，ｍ＝２，ｋ＝０とおいて，２^2（３，２）＝４

　ｎ＝４，ｍ＝１，ｋ＝０とおいて，２（３，１）＝６

すなわち，頂点次数は６．また，頂点にはｎ＝４，ｍ＝３，ｋ＝０とおいて，

　　２^3（３，３）＝８

個の３次元面（正四面体）が集まると計算されている．

　　ｆ3＝ｘ／４・ｆ0＝１６，ｆ0＝８→ｘ＝８

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［４］正２４胞体

　｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　　ｆ3＝（０／１＋０／２＋０／３＋６／６）ｆ0＝（２４）＋（９６）＋（９６）＋２４＝２４

　　１は｛４，３｝（０，０，０）の頂点数

　　２は｛３｝（０，０）×｛｝（１）の頂点数＝１×２＝２

　　３は｛｝（０）×｛３｝（１，０）の頂点数＝１×３＝３

　　６は｛３，４｝（１，０，０）の頂点数の頂点数＝６

　前節の手は正２４胞体には使えないが，（その１４４）において，頂点周囲のファセット数が６であるという結果を得た．

　この結果は（その４４）に述べた，正２４胞体の頂点次数は８である．また，頂点には６個の３次元面（正八面体）が集まる．

　　ｆ3＝ｘ／６・ｆ0＝２４，ｆ0＝２４→ｘ＝６

と整合している．この結果は｛３３４｝（０１００）とも一致している．

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［５］空間充填２（２^n−１）胞体

｛３，４｝（１１０）；ｆ2＝（１／４＋２／６）ｆ0＝６＋８＝１４

　　切頂面｛４｝（１０）１個・・・頂点数４

　　２次元面｛３｝（１１）２個・・・頂点数６

　　ｆ2＝（１／４＋２／６）・ｆ0＝１４

｛３，３，４｝（０１００）；ｆ3＝（２／６＋４／６）ｆ0＝８＋１６＝２４

　切頂点の周囲には

　　切頂面｛３，４｝（１００）２個・・・頂点数６

　　３次元面｛３，３｝（０１０）４個・・・頂点数６

　　ｆ3＝（２／６＋４／６）・ｆ0＝２４

｛３，３，３，４｝（０１１００）；ｆ4＝（２／４８＋４／３０）ｆ0＝１０＋３２＝４２

　４次元面は

　　切頂面｛３，３，４｝（１，１，０，０）２個・・・頂点数４８

　　ｎ−１次元面｛３，３，３｝（０，１，１，０）４個・・・頂点数３０

　ｆ4＝（２／４８＋４／３０）・ｆ0

　ｆ0＝２４０→ｆ4＝１０＋３２＝４２→ＯＫ

｛３，３，３，３，４｝（００１０００）；ｆ5＝（３／４０＋８／２０）ｆ0＝１２＋６４＝７６

　５次元面は

　　切頂面｛３，３，３，４｝（０，１，０，０，０）３個・・・頂点数４０

　　ｎ−１次元面｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）８個・・・頂点数２０

　ｆ5＝（３／４０＋８／２０）・ｆ0

　ｆ0＝１６０→ｆ5＝１２＋６４＝７６→ＯＫ

　空間充填２^n＋２ｎ胞体では，ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

であることを用いて，偶数次元・偶数次元とも

　　切頂面：ｔｐ＋１（ただし，ｎ＝２のときは０）

　　ｎ−１次元面＝２^n-fp-1

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