■置換多面体の空間充填性(その130)

 正軸体版(1,0,・・・,0,1)のファセット数はどうなるのだろうか?

  m=(連続する0の数),(1+x)^m+1

に関係する2項係数が見えてくる.すなわち,0の位置をポインタとして

  (m+1,1),(m+1,2),・・・(m+1,m)

も成り立つだろうか?

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[1]{3,4}(1,0,1)

  f2=(1/4+2/4+1/3)f0=6+12+8=26

  4は{4}(0,1)の頂点数

  4は{}(1)×{}(1)の頂点数=2×2=4

  4は{}(0)×{3}(1,0)の頂点数=1×3=3

[2]{3,3,4}(1,1,0,1)

  f3=(1/24+1/8+2/12+1/12)f0=8+24+32+16=80

  24は{3,4}(1,0,1)の頂点数

  8は{4}(0,1)×{}(1)の頂点数=4×2=8

  12は{}(1)×{3}(1,1)の頂点数=2×6=16

  12は{}(0)×{3,3}(1,1,0)の頂点数=1×12=12

[3]{3,3,4}(1,0,1,1)

  f3=(1/24+2/16+1/6+1/12)f0=8+24+32+16=80

  24は{3,4}(0,1,1)の頂点数

  16は{4}(1,1)×{}(1)の頂点数=8×2=16

  6は{}(1)×{3}(1,0)の頂点数=2×3=6

  12は{}(0)×{3,3}(1,0,1)の頂点数=1×12=12

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 0の位置をポインタとして

  (m+1,1),(m+1,2),・・・(m+1,m)

も成り立つようである.

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