対数らせんやアルキメデスのらせんは発散するらせんであった．テオドロスのらせんの漸近挙動もアルキメデスのらせんに近づいていくことがわかっている．

　それに対して，オイラーらせんにおいて，オイラー級数の収束速度は非常に遅く，その結果，点Ｐkはゆっくり外向きの螺線を描きながら半径π／√６の極限円に限りなく近づく収束するらせんである．

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　オイラーの公式：ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθにθ＝πを代入すると，

　　ｅｘｐ（ｉπ）＝ｃｏｓπ＋ｉｓｉｎπ＝−１

となります．

　　ｅｘｐ（ｉπ）＝１＋ｉπ−π^2／２！−ｉπ^3／３！＋π^4／４！＋ｉπ^5／５！−π^6／６！−ｉπ^7／７！＋π^8／８！＋・・・

を１項ずるらせんを描くように複素平面上にプロットしていくと１０項くらいでほぼ−１に収束していくのがわかります．

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