ｎサイクルロータリーエンジンと概ｎ角形の穴をあけるドリルの設計では，正（ｎ−１）角形を（ｎ−１）公転について１回自転させることによってペリトロコイド曲線を描き，引き続いて，ペリトロコイド曲線を（ｎ−２）公転について１回自転させることによってローター曲線を求めました．たとえば，ｎ＝４の場合はルーローの三角形に類似したローター曲線が得られました．

　このローター曲線はペリトロコイド曲線に内接しますから，ペリトロコイド曲線を（ｎ−２）公転について１回自転させるというステップは非常に重要と考えられます．そこで，あらかじめ与えられた正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させれば，正ｎ角形に内接しながら回転することができる円以外の凸閉曲線が得られるのではないかという発想が自然に浮かんできます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】直線族の描画

　正ｎ角形を，原点を中心とする円周上を公転させながら自転させて得られる直線族は大変混み入ったものになったため，ここでは１辺のみを動かしてみました．それにより新しい包絡線が得られているのがわかります．ｎ＝３の場合を除き，正ｎ角形の枠にうまく内接しているようにみえます．

［１］ｎ＝３

［２］ｎ＝４

［３］ｎ＝５

［４］ｎ＝６

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】直線族の包絡線

　正ｎ角形のｘ軸に平行な辺を円周上の点Ｐを中心として反時計回りに公転させながら，時計回りに自転させることにすると，点Ｐは

　　（ａｃｏｓ（ｎ−２）θ，ａｓｉｎ（ｎ−２）θ）

この直線の傾きは

　　ｔａｎ（−θ）

となります．また，点Ｐから直線までは距離Ｒだけ離れているとします．

　直線の方程式を

　　ｙ＝ｍｘ＋ｃ　　　ｍ＝−ｔａｎθ

とおくと

　　｜ａｓｉｎ（ｎ−２）θ−ｍａｃｏｓ（ｎ−２）θ−ｃ｜＝Ｒ（１＋ｍ^2）1/2

小さい方のｃをとると，

　　ｃ＝ａｓｉｎ（ｎ−２）θ−ｍａｃｏｓ（ｎ−２）θ−Ｒ（１＋ｍ^2）1/2

　こうして，この直線族の方程式は

　　ｙ＝−ｔａｎθｘ＋ａｓｉｎ（ｎ−２）θ＋ａｔａｎθｃｏｓ（ｎ−２）θ−Ｒ（１＋ｔａｎ^2θ）1/2

より

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎθ＋ｙｃｏｓθ−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ＋Ｒ＝０・・・(1)

と表されます．

　　∂ｆ／∂θ＝ｘｃｏｓθ−ｙｓｉｎθ−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ＝０・・・(2)

包絡線の方程式を得るには(2)からθ＝θ（ｘ，ａ，Ｒ）を求めて(1)に代入するのですが，θを消去することは簡単ではなさそうなので，

　　(1)×ｃｏｓθ−(2)×ｓｉｎθ

　＝ｙ−ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋Ｒｃｏｓθ＋（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ＝０

　　(1)×ｓｉｎθ＋(2)×ｃｏｓθ

　＝ｘ−ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋Ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ＝０

すなわち

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

と求められます．

　このパラメータ表示された包絡線は，円錐曲線にもデルトイドやアステロイドの類にもならないことがわかります．今回のコラムはここまでとし，この曲線の性質を決めるのは次回以降にしたいと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝