横浜の杉山さんに教えてもらったことであるが，

［１］空間充填2(2^n-1)胞体の面数は「第2種スターリング数*k!」と等しい．

［２］(3^n-1)胞体の面数と等しい整数列が存在する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］空間充填2(2^n-1)胞体の面数は「第2種スターリング数*k!」と等しい．

その整数列はオンライン整数列大辞典の次の頁で確認できます。

http://oeis.org/A019538

［２］(3^n-1)胞体の面数と等しい整数列が存在する．

その整数列はオンライン整数列大辞典の次の頁で確認できます。

http://oeis.org/A145901

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　nＴk＝Σ(0,k)（−１）^k-jkＣjｊ^n

　　nＴk＝ｋn-1Ｔk-1＋n-1Ｔk

とデーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

を比較してみよう．

　このままでは比べにくいから，前者のパラメータをｊ→ｋ−ｊに変えてみると

　　nＴk＝Σ(0,k)（−１）^jkＣj（ｋ−ｊ）^n

となる．これより

　　kＣj（ｋ−ｊ）^n＝（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

となるかどうかは疑問であるが，ともあれ比較しやすい形にはなったわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　以上は多面体的組み合わせ論の結果であるが，幾何学的には

　　ｆk＝Σ(0,k)（ｎ＋１，ｊ＋１）ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

の形で求められるから，これも

　　（−１）^jkＣj（ｋ−ｊ）^n＝（ｎ＋１，ｊ＋１）ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

　　ｆ(k-j)^(n-1ｰj)＝（−１）^jkＣj（ｋ−ｊ）^n／（ｎ＋１，ｊ＋１）

あるいは

　　（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj＝（ｎ＋１，ｊ＋１）ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

となるかどうかは疑問であるが，ともあれ比較しやすい形にはなったわけである．

　　ｆk＝Σ(0,k)（ｎ＋１，ｊ＋１）ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

と比較するならば，

　　nＴk＝ｋ・n-1Ｔk-1＋n-1Ｔk

であろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝