空間充填２^n＋２ｎ胞体の場合，頂点に集まるｋ次元胞は２種類であったため，反転公式が使えた．

　空間充填２^n＋２ｎ胞体において，切頂点に集まるｎ−１次元面数は

　　（ｔｐ＋１，１）＋２^n-1-fp

になりましたが，これは空間充填２^n＋２ｎ胞体に限らず，一般の正軸体系切頂型準正多胞体でも成り立つ式である．

　　ｆn-1＝（ｘ／ａ＋ｙ／ｂ）ｆ0，

　　ｘ＝（ｔｐ＋１，１），ｙ＝２^n-1-fp

　空間充填２（２^n−１）胞体の場合はどうなるのだろうか？

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　わかっていることは

［１］頂点に集まるｎ−１次元面数はｎである．

　　ｆn-1＝（ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＋ｚ／ｃ＋ｗ／ｄ＋・・・）ｆ0

　　ｘ＝（ｔｐ＋１，１）？，ｙ＝２^n-1-fp？，・・・

［２］頂点に集まる１次元面数はｎである．

だけである．

　頂点に集まるｋ面数のｎとなる様な気もするが，

［３］頂点に集まるｎ−２次元面数はｎにはならないはずである．

さらに，

［４］すべてのｋ面は，ｎ−ｋ個のファセットに含まれる．

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【１】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　ｋ次元面はｎ−ｋ個のファセットの共通部分に含まれる，残りのｎ−ｊ個のファセット上のあるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj

であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

［例］空間充填２（２^n−１）胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（６，６）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（１２０，２４０，１５０，３０）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（７２０，１８００，１５６０，５４０，６２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（５０４０，１５１２０，１６８００，８４００，１８０６，１２６）

［例］３^n−１胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（８，８）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４８，７２，２６）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（３８４，７６８，４６４，８０）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（３８４０，９６００，８１６０，２６４０，２４２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（４６０８０，１３８２４０，１５１６８０，７２９６０，１４１６８，７２８）

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