導線を弧長パラメータｓを用いて

　　ｘ＝ξ（ｓ），ｙ＝η（ｓ）

をすると，接線方向の単位べクトル（ξ’，η’），法線方向の単位べクトル（−η’，ξ’）ですから，

　　ξ’^2＋η’^2＝１，ξ’ξ”＋η’η”＝０

が成立します．

　ここで，比例定数をκ（ｓ）とおくとき，

　　ξ”＝κξ’，η”＝κη’

κ（ｓ）が弧長パラメータｓに対する曲率，比例式がフレネー・セレーの公式と呼ばれます．

　ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線については

　　Ｌ＝（８（ｎ＋１）＋８（ｎ−１））／ｎ＝１６

　　Ｓ＝（（ｎ＋１）（ｎ＋２）−（ｎ−１）（ｎ−２））／ｎπ＝６π

が成り立ちますが，一般の導線の場合も成り立つことを証明します．

　［参］一松信「多変数の微分積分学」現代数学社

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　導線の左側を転がる円板上の点の軌跡は

　　ｘ＝ξ（ｓ）−η’（ｓ）−ξ’（ｓ）ｓｉｎｓ＋η’（ｓ）ｃｏｓｓ

　　ｙ＝η（ｓ）＋ξ’（ｓ）−ξ’（ｓ）ｃｏｓｓ−η’（ｓ）ｓｉｎｓ

　　ｘ＝ξ−ξ’ｓｉｎｓ＋η’（１−ｃｏｓｓ）

　　ｙ＝η＋ξ’（１−ｃｏｓｓ）−η’ｓｉｎｓ

　　ｘ’＝（１−κ）（ξ’（１−ｃｏｓｓ）−η’ｓｉｎｓ）

　　ｙ’＝（１−κ）（η’ξ（１−ｃｏｓｓ）＋ξ’ｓｉｎｓ）

　　ｘ’^2＋ｙ’^2＝（１−κ）^2（ξ’^2＋η’^2）（（１−ｃｏｓｓ）^2＋（ｓｉｎｓ）^2）＝（１−κ）^2（２−２ｃｏｓ^2ｓ）

＝４（１−κ）^2ｓｉｎ^2（ｓ／２）

　　（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２（１−κ）ｓｉｎ（ｓ／２）

導線の左側を転がる円板上の点に対しては

　　（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２（１＋κ）ｓｉｎ（ｓ／２）

　合計して

　　Ｌ＝∫(0,2π)４ｓｉｎ（ｓ／２）ｄｓ＝１６

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　面積は，導線の左側を転がる円板上の点に対して

　　ｘｙ’−ｙｘ’＝（１−κ）｛（ξη’−ηξ’）（１−ｃｏｓｓ）＋（ξξ’＋ηη’）ｓｉｎｓ−４ｓｉｎ^2（ｓ／２）｝

導線の右側を転がる円板上の点に対して

　　ｘｙ’−ｙｘ’＝（１＋κ）｛−（ξη’−ηξ’）（１−ｃｏｓｓ）＋（ξξ’＋ηη’）ｓｉｎｓ−４ｓｉｎ^2（ｓ／２）｝

　ここで，

　　κ（ξη’−ηξ’）＝｛ｓ−（ξξ’＋ηη’）｝’

より，合計して

　　Ｓ＝６π

を得る．

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［注］導線を弧長パラメータｓを用いて

　　ｘ＝ξ（ｓ），ｙ＝η（ｓ）

をすると，接線方向の単位べクトル（ξ’，η’），法線方向の単位べクトル（−η’，ξ’）でしたが，陰関数Ｆ（ｘ，ｙ）＝０の場合は，接線方向のべクトル（−Ｆy，Ｆx），法線方向の単位べクトル（Ｆx，Ｆy）です．

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