曲線と曲面の「曲率」についてみていきましょう．

　平面曲線Ｃ上の点Ｐにおける曲率とは，点ＰでＣに接する円で，最もよくＣを近似するものの半径の逆数をいいます．たとえば，半径ａの円の曲率は一定で１／ａとなりますし，放物線：ｙ＝ａｘ^2の原点における曲率は２ａです．このように平面曲線の曲率はスカラーの値です．空間曲線には，曲率の他に捻率（れいりつ）という概念がでてきます．

　一方，曲面ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）に対して「最もよく接触する球」は無理が多く，とくに双曲型の点では無意味です．そのため，曲面を最もよく近似する２時局面が不可欠になります．したがって，曲面の曲率は「テンソル」となりますが，曲面の曲がり方を測る尺度として，ガウス曲率・平均曲率というような概念もでてきます．

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【１】平面曲線と曲率

　平面曲線についてのフレネー・セレーの公式は，

　　d/dtＥ＝ＡＥ

で表されます．

　ここで，

　　Ｅ＝（ｅ1(t)，ｅ2(t)）’

　　Ａ＝｜　０　， κ(t)｜

　　　　｜-κ(t)，　０　｜

Ａは交代行列で，κ(t)は曲率を表すスカラー関数です．また，曲率の逆数を曲率半径といいます．

　円周の場合，曲率半径は半径と一致し，したがって曲率中心はつねに原点となりますが，楕円ではどうなるでしょうか？

　楕円：

　　ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

のパラメータ表示

　　ｘ＝ａｃｏｓｔ，

　　ｙ＝ｂｓｉｎｔ

について曲率を求めると，

　　κ(t)＝ａｂ／（ａ^2ｓｉｎ^2ｔ＋ｂ^2ｃｏｓ^2ｔ）^(3/2)

　これより，曲率中心を求めてみると

　　（（ａ^2−ｂ^2）／ａｃｏｓ^3ｔ，（ａ^2−ｂ^2）／ｂｓｉｎ^3ｔ）

で与えられ，ｔが動くときの軌跡すなわち曲率中心の軌跡は，

　　（ａｘ）^(2/3)＋（ｂｙ）^(2/3)＝（ａ^2−ｂ^2)^(2/3)

となり，この曲線はアステロイドとなることがわかります．

　このように曲線が与えられたとき，微分幾何学的にフレネー・セレーの公式が書き下され，それから曲率が与えられ，さらに曲率中心の軌跡となる曲線を決めることができるのです．

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【２】空間曲線と捻率

　半径ａ，勾配ｂ／ａの螺旋の曲率は一定で，ａ／（ａ^2＋ｂ^2）です．したがって，螺旋の曲率半径はａ＋ｂ^2／ａとなりますが，これは半径はａ＋ｂ^2／ａの円の曲率とまったく同じです．このことから，曲率だけでは空間曲線の形状を決定するには十分でないことがわかります．

　空間曲線では曲率のほかに，捻率が新たに必要になります．空間曲線についてのフレネー・セレーの公式は，

　　d/dtＥ＝ＡＥ

ただし，

　　Ｅ＝（ｅ1(t)，ｅ2(t)，ｅ3(t)）’

　　　　｜　０　， κ(t)，　０　｜

　　Ａ＝｜-κ(t)，　０　， τ(t)｜

　　　　｜　０　，-τ(t)，　０　｜

Ａは交代行列で，τ(t)は捻率を表すスカラー関数です．

　フレネー・セレーの公式をもとに，曲がり方を与える曲率と捻れ方を与える捻率を定めることによって曲線の形は定まります．その場合の解の存在と一意性が常微分方程式の理論により示されるのですが，フレネー・セレーの公式は曲線を決定してしまう構造方程式となっているのです．

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【３】空間の曲面

　曲面論では，曲率，捻率のかわりに第１，第２基本形式を定めます．

　第１基本形式ｇは

　　ｇ＝ｇ11（ｄｕ）^2＋２ｇ12ｄｕｄｖ＋ｇ22（ｄｖ）^2

で表されます．ここで，

　　ｇ11＝（ｘu，ｘu），ｇ12＝（ｘu，ｘv），ｇ22＝（ｘv，ｘv）

　　Δ＝ｇ11ｇ22−（ｇ12）^2＞０　　　（正定値２次形式）

　一方，第２基本形式ｈは，

　　ｈ＝ｈ11（ｄｕ）^2＋２ｈ12ｄｕｄｖ＋ｈ22（ｄｖ）^2

ただし，

　　ｈ11＝（ｘuu，ｎ），ｈ12＝（ｘuv，ｎ），ｈ22＝（ｘvv，ｎ）

　　ｈij＝det（ｘij，ｘ1，ｘ2）／Δ^(1/2)

と表されます．

　第１基本形式は，ｕｖ平面をどう伸縮して曲面を作るかを指定していて，緯線・経線の長さと曲線同士の角度を定めているといえます．それに対して，第２基本形式は，接平面を基準面として曲面の曲がり方を定めています．

　ここで，対称行列Ｇ，Φを

　　Ｇ＝｜ｇ11，ｇ12｜　　　Φ＝｜ｈ11，ｈ12｜

　　　　｜ｇ12，ｇ22｜　　　　　｜ｈ12，ｈ22｜

とおくと，

　　ｇ＝（ｄｕ，ｄｖ）Ｇ（ｄｕ，ｄｖ）’

　　ｈ＝（ｄｕ，ｄｖ）Φ（ｄｕ，ｄｖ）’

のように，２次形式で表されます．曲率，捻率とは違って，これらは関数ではなくて接平面上における２次形式を与えるものであって，第１，２基本形式はテンソルと呼ばれる量なのです．

　ところで，螺旋面（ヘリコイド）と（カテノイド）は第２基本形式は異なるものの第１基本形式はまったく同じです．すなわち，曲面の形は第１基本形式だけでは定まりません．このように，空間曲線論と同様，これら２つの基本形式で曲面の形が定まります．ただし，事情は曲線論よりも複雑になり，第１基本形式と第２基本形式は，偏微分方程式の積分可能条件である，

　　１）ガウスの方程式

　　２）マイナルディ・コダッチの方程式

を満たさなければなりません．

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【４】曲面の曲率

　曲面の各点の法線を含んだ平面で切った切り口には曲がり方が最もきつい方向と緩やかな方向がありますが，これらを用いて曲面の曲率を定めることができます．

　ガウス曲率Ｋは曲率の最大値と最小値の積で定義され，一方，平均曲率Ｈとは２方向の曲率の相加平均で定義されます．すなわち，ガウス曲率Ｋと平均曲率Ｈは

　　Ｋ＝κ1κ2

　　Ｈ＝（κ1＋κ2）／２

であって，また，曲率κ1，κ2を主曲率と呼びます．

　対称行列Ｇ，Φを用いると

　　Ｋ＝det（Ｇ^(-1)Φ）＝detΦ／detＧ

　　　＝｛ｈ11ｈ22−（ｈ12）^2｝／Δ

　　　＝κ1κ2

　　Ｈ＝1/2tr(Ｇ^(-1)Φ）

　　　＝（ｇ11ｈ22−２ｇ12ｈ12＋ｇ22ｈ11）／２Δ

　　　＝（κ1＋κ2）／２

となることが示されます．

　これらを用いれば，主曲率は２次方程式の根と係数の関係から

　　κ1＝Ｈ−（Ｈ^2−Ｋ）^(1/2)

　　κ2＝Ｈ＋（Ｈ^2−Ｋ）^(1/2)

と表されます．

　平均曲率Ｈが恒等的に０な曲面は極小曲面と呼ばれます．螺旋面や懸垂面は極小曲面の例となっています．

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