ｎ角形の穴をあけるドリルでは，１回公転する間に１／（ｎ−１）回自転するという運動を実現させてやればよいことになる．そのためには２つの歯車が必要になる．

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【１】通常方式のドリル

　円周ｍの大円がある．この円に内接しながら円周１の小円が転がるとき，１周するまでに小円は何回転するだろうか？

　　α：小円の中心の大円の中心に対する公転角

　　β：小円の自転角

として，弧の長さを等しいとおけば

　　ｍα＝α＋β　→　ｍ−１＝β／α

すなわち，ｍ−１回転するのである．

　ついでにいうと外接しながら転がるときは

　　ｍα＝β−α　→　ｍ＋１＝β／α

よりｍ＋１回転するが，内接のときと外接のときとでは小円の回転する方向が逆になる．

ドリルの問題では，ローターの（ｎ−１）公転で１回転（自転）するから，

　　β／α＝１／（ｎ−１）

また，

　　固定子（内歯車，歯数ｒ）

　　回転子（外歯車，歯数ｓ）

とおくと，大円の円周は小円のｒ／ｓ（＝ｍ）倍と考えることができるから，

　　ｍ−１＝ｒ／ｓ−１＝（ｒ−ｓ）／ｓ＝１／（ｎ−１）

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【２】ロータリーエンジン方式のドリル

　　回転子（内歯車，歯数ｒ）

　　固定子（外歯車，歯数ｓ）

とおくと，大円の円周は小円のｒ／ｓ（＝ｍ）倍と考えることができる．そして，

　　α：大円の中心の小円の中心に対する公転角

　　β：大円の自転角

として，弧の長さを等しいとおけば

　　α＝ｍ（α−β）　→　ｍ＝α／（α−β）

　　β／α＝（ｍ−１）／ｍ

　ローターの（ｎ−１）公転で１回転（自転）するから，

　　β／α＝１／（ｎ−１）

に，ｍ＝ｒ／ｓを代入すると

　　β／α＝（ｍ−１）／ｍ＝１／（ｎ−１）

　　（ｒ−ｓ）／ｒ＝１／（ｎ−１）

が求める式となり，（その１２）の式の導出は正しかったことがわかる．

　なお，内側の円を固定させて，外側の円をそれに外接させながらそのまわりを回転させる場合は

　　α＝ｍ（β−α）　→　ｍ＝α／（β−α）

　　β／α＝（ｍ＋１）／ｍ

となる．外接させる場合はｍ−１の代わりにｍ＋１が現れる．

　通常方式では公転角と自転角が反対回りであったが，ロータリーエンジン方式は同じ向きなので，ローターに固定された点の軌跡は

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓα

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎα

　　β＝α／（ｎ−１）

で表されることになる．

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