【１】球面三角法

　平面三角形の余弦定理に該当する

　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ

をｃｏｓＣについて解くと

　　ｃｏｓＣ＝（ｃｏｓｃ−ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ）／ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ

ですから

　　ｓｉｎＣ＝１−ｃｏｓ^2Ｃ

＝（１−ｃｏｓ^2ａ−ｃｏｓ^2ｂ−ｃｏｓ^2ｃ＋２ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）／（ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ）^2

　　ｓｉｎＣ／ｓｉｎｃ＝（１−ｃｏｓ^2ａ−ｃｏｓ^2ｂ−ｃｏｓ^2ｃ＋２ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）^1/2／ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｓｉｎｃ

　したがって，球面三角形の正弦定理

　　ｓｉｎＡ／ｓｉｎａ＝ｓｉｎＢ／ｓｉｎｂ＝ｓｉｎＣ／ｓｉｎｃ

を得ます．

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【２】球面三角形のヘロンの公式

　　１−ｃｏｓＳ＝（１−ｃｏｓ^2ａ−ｃｏｓ^2ｂ−ｃｏｓ^2ｃ＋２ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）／（１＋ｃｏｓａ）（１＋ｃｏｓｂ）（１＋ｃｏｓｃ）

　　１＋ｃｏｓＳ＝（１＋ｃｏｓａ＋ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）^2／（１＋ｃｏｓａ）（１＋ｃｏｓｂ）（１＋ｃｏｓｃ）

　　ｓｉｎＳ＝（１＋ｃｏｓａ＋ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）（１−ｃｏｓ^2ａ−ｃｏｓ^2ｂ−ｃｏｓ^2ｃ＋２ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｃｏｓｃ）^1/2／（１＋ｃｏｓａ）（１＋ｃｏｓｂ）（１＋ｃｏｓｃ）

　ａ，ｂ，ｃ，Ｓをａ／Ｒ，ｂ／Ｒ，ｃ／Ｒ，ＳＲ^2とし，Ｒ→∞とすれば，平面三角形のヘロンの公式

　　１６Ｓ^2＝−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4＋２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）

に近づきます．

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