陽関数（従属変数型関数）では，ｙ＝ｆ（ｘ）がどんなに複雑であってもきちんと式に書き表わすことさえできればグラフを描くことができます．また，媒介変数型関数（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｔ），ｇ（ｔ））の関数描画も容易ですが，陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０のグラフは簡単には描けません．もし，陰関数をｙについて解いてｙ＝ｇ（ｘ）と陽関数に変形できる場合は一価関数となるので，簡単にグラフを描くことができます．また，パラメトライズ（媒介変数表示の形に書くこと）ができればこれも容易に描画可能です．

［１］３次曲線のパラメータ表示例

　デカルトの正葉線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）では，ｙ／ｘ＝ｔ，すなわちｙ＝ｔｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　ｘ＝３ａｔ／（１＋ｔ^3），ｙ＝３ａｔ^2／（１＋ｔ^3）

この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．

　しかし，このままではｔとの対応が悪く

　　ｘ＝３ａ（１−ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3），

　　ｘ＝３ａ（１＋ｔ）（１−ｔ^2）／２（１＋３ｔ^3），

の方がきれいに描くことができます．

　同様に，特異点をもつｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は楕円曲線ではありません．前者は（ｔ^3，ｔ^2），後者は（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とパラメトライズできます．

［２］４次曲線のパラメータ表示例

　レムニスケートは

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4）

のようにパラメトライズすることができます．

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［３］陰関数

　陽関数ｙ＝ｇ（ｘ）はｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ−ｇ（ｘ）と同じことになるので，陽関数は必ず陰関数に書き直すことができます．陰関数のグラフをコンピュータで描く方法はいろいろと工夫されています．

　まず考えられるのは，グラフの全領域内を微小な長方形で埋めつくし，格子点上に離散的に関数値を計算して与えておき，各々の長方形の４辺とｆ（ｘ，ｙ）＝０との交点を１次補間法で求める方法です．しかし，この方法によるグラフ表示はかなり面倒で，ｘ値，ｙ値の探索に時間がかかるため描画時間も長くなりますし，特異点に対しては正しく描画できないという欠点もあります．そこで，もっと一般的な陰関数の描画原理について考えてみることにしましょう．

　陽関数の場合に媒介変数ｔを導入してｘ＝ｔ，ｙ＝ｇ（ｔ）とすれば，これはｙ＝ｇ（ｘ）と同じことになるので，陽関数は必ずパラメータ表示に書き直すことができます．これと同様に陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０において，一意に定まるパラメータｔを導入してｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）と表わされるものとすると，座標（ｘ，ｙ）の代わりに（ｔ，ｘ（ｔ）），（ｔ，ｙ（ｔ））を用いることができるため，陽関数と同様の取り扱いが可能になります．

　すなわち，陽関数，陰関数いずれの場合であってもｘ−ｙ平面上の点（ｘ，ｙ）を第３の変数ｔをパラメータとする点（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））ととらえると，ｔの変化とともに描かれる点の軌跡がグラフになります．このように陰関数でなしに，陽な形あるいは媒介変数表示の形にして書くことができれば，多価関数が自然に定義できる利点があり申しぶんありません．

　したがって，陰関数表示された曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０のグラフを描くことはｆ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））＝０を満たす２つの関数ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）を見つけだすことと同等の問題になります．なんとかして媒介変数表示したいものですが，そのためには微分方程式の差分解法の知識が必須なものになってきます．

　そこでまず，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０を満たす２つの数ｘ0，ｙ0が求まっているとします．ｘ（０）＝ｘ0，ｙ（０）＝ｙ0とすると点（ｘ0，ｙ0）の近傍の点（ｘ，ｙ）＝（ｘ（Δｔ），ｙ（Δｔ））で，小さなΔｔに対して

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ0，ｙ0）＋Δｘｆx（ｘ0，ｙ0）＋Δｙｆy（ｘ0，ｙ0）＋高次の項

が成立します．

ｘ＝ｘ0＋Δｘ，ｙ＝ｙ0＋Δｙ，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０，ｆ（ｘ，ｙ）＝０より

　　Δｘｆx（ｘ0，ｙ0）＋Δｙｆy（ｘ0，ｙ0）≒０

したがって，一般性を失なうことなく，全微分型方程式

　　ｄｆ／ｄｔ＝ｆx（ｘ，ｙ）ｄｘ／ｄｔ＋ｆy（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝０

が得られます．

　このとき１階の連立微分方程式があって

　　ｄｘ／ｄｔ＝−ｆy（ｘ，ｙ），

　　ｄｙ／ｄｔ＝　ｆx（ｘ，ｙ）

を満たすものとします（ハミルトン型方程式）．ハミルトン型の方程式では

　　ｄｆ／ｄｔ＝ｆx（ｘ，ｙ）ｄｘ／ｄｔ＋ｆy（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝０

が成り立ちますから，ｔについて積分するとｆ（ｘ，ｙ）＝ｃ，初期条件ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０よりｃ＝０，すなわちｆ（ｘ，ｙ）＝０となります．この式の場合，ｆはｔに関係なく一定で，点（ｘ，ｙ）は等高線上を進むと考えられますから，軌道に沿ってエネルギーが変化しない系（保存系）を表わすものと解釈されます．このような関数ｆをハミルトン関数といい，物理の世界では運動の全エネルギーを表わすものとして有名です．

　以上により，グラフを描くことはハミルトン型の２元連立常微分方程式

　　ｄｘ／ｄｔ＝　ｆy（ｘ，ｙ），

　　ｄｘ／ｄｔ＝−ｆy（ｘ，ｙ）

および

　　ｄｙ／ｄｔ＝−ｆx（ｘ，ｙ），

　ｄｙ／ｄｔ＝　ｆx（ｘ，ｙ）

を初期条件ｘ（０）＝ｘ0，ｙ（０）＝ｙ0のもとで解くことに帰着されます．たとえば，ルンゲ・クッタ法による差分解法を用いて，この解となる軌道を求めることができます．

　最後に，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０を満たす２つの数ｘ0，ｙ0を求めてみます．この解はｘ0を適当にとりｆ（ｘ0，ｙ）をｙの関数と考えて，ニュートン・ラプソン法を用いて解ｙ＝ｙ0を求めることができます．２元連立方程式

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｙ＝ｙ0

においては，更新公式Δｘ＝−ｆ（ｘ，ｙ）／ｆx（ｘ，ｙ），Δｙ＝０が得られます．この式は１変数関数におけるニュートン法の公式

　　Δｘ＝−ｆ（ｘ）／ｆ’（ｘ）

において微分を偏微分に変えただけで全く同じ形式をとっています．

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