ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線については

　　Ｌ＝（８（ｎ＋１）＋８（ｎ−１））／ｎ＝１６

　　Ｓ＝（（ｎ＋１）（ｎ＋２）−（ｎ−１）（ｎ−２））／ｎπ＝６π

が成り立ちますが，さらに補足します．

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［１］サイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓ

の弧長Ｌは８，面積Ｓは３πである．θは偏角ではないので

　　Ｓ＝１／２∫｛ｒ（θ）｝^2ｄθ

とはならないことに注意されたい．

　直線の両側にサイクロイドを作るとＬ＝１６，Ｓ＝６πなのですが，片側だけですので半分になって，弧長Ｌは８，面積Ｓは３πになるというわけです．

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［２］カージオイドではＬ＝１６，Ｓ＝６π

　内側の曲線は動くことができず，弧長Ｌは０，面積Ｓも０になるので，外側のカージオイド曲線ではＬ＝１６，Ｓ＝６πとなります．

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［３］ネフロイド

　内側の曲線は円の直径になります．したがって，弧長Ｌは４，面積Ｓは０になる．外側のネフロイド曲線では

　　面積：（ｎ＋１）（ｎ＋２）π＝１２π

　　弧長：８（ｎ＋１）＝２４

また，半円

　　面積：０

　　弧長（直径）：４

　　Ｌ＝（２４）／２＋４＝１６，Ｓ＝（１２）／２π＝６π

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［４］デルトイド

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ

　　ｙ＝−２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ

と３尖点エピサイクロイド

　　ｘ＝４ｃｏｓθ−ｃｏｓ４θ

　　ｙ＝４ｓｉｎθ−ｓｉｎ４θ

で囲まれる１区間でもＬ＝１６，Ｓ＝６π．

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