n尖点エピサイクロイドとn尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線については
L=(8(n+1)+8(n-1))/n=16
S=((n+1)(n+2)-(n-1)(n-2))/nπ=6π
が成り立ちますが,さらに補足します.
===================================
[1]サイクロイド
x=θ-sinθ
y=1-cos
の弧長Lは8,面積Sは3πである.θは偏角ではないので
S=1/2∫{r(θ)}^2dθ
とはならないことに注意されたい.
直線の両側にサイクロイドを作るとL=16,S=6πなのですが,片側だけですので半分になって,弧長Lは8,面積Sは3πになるというわけです.
-----------------------------------
[2]カージオイドではL=16,S=6π
内側の曲線は動くことができず,弧長Lは0,面積Sも0になるので,外側のカージオイド曲線ではL=16,S=6πとなります.
-----------------------------------
[3]ネフロイド
内側の曲線は円の直径になります.したがって,弧長Lは4,面積Sは0になる.外側のネフロイド曲線では
面積:(n+1)(n+2)π=12π
弧長:8(n+1)=24
また,半円
面積:0
弧長(直径):4
L=(24)/2+4=16,S=(12)/2π=6π
-----------------------------------
[4]デルトイド
x=2cosθ+cos2θ
y=-2sinθ+sin2θ
と3尖点エピサイクロイド
x=4cosθ-cos4θ
y=4sinθ-sin4θ
で囲まれる1区間でもL=16,S=6π.
==================================