等周問題について考えてみたい．

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［Ｑ１］幅Ｌの細長い長方形のトタン板を中心線で対称に折り曲げ，切り口が二等辺三角形の樋を作る．この樋の断面積を最大にするには何度に折り曲げればよいか？

［Ａ１］幅Ｌｃｏｓθ，高さはＬ／２・ｓｉｎθであるから，断面積は

　　Ｓ＝Ｌ^2／４ｃｏｓθｓｉｎθ＝Ｌ^2／８ｓｉｎ２θ

　　ｄＳ／ｄθ＝Ｌ^2／４ｃｏｓ２θ＝０→θ＝π／４（断面積はＬ^2／８）

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［Ｑ２］幅Ｌの細長い長方形のトタン板を中心線に対して対称に折り曲げ，切り口が長方形の樋を作る．この樋の断面積を最大にするにはどの位置で折り曲げればよいか？

［Ａ２］中心からｘＬ／２（０＜ｘ＜１）で直角に折り曲げる．幅ｘＬ，高さはＬ（１−ｘ）／２であるから，断面積は

　　Ｓ＝Ｌ^2ｘ（１−ｘ）／２

　　ｄＳ／ｄｘ＝Ｌ^2／２（１−２ｘ）＝０→ｘ＝１／２

　　→これは正方形の半分であり，断面積はＬ^2／８

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［Ｑ３］幅Ｌの細長い長方形のトタン板を中心線に対して対称に折り曲げ，切り口が等脚台形の樋を作る．この樋の断面積を最大にするにはどの位置で何度に折り曲げればよいか？

［Ａ２］中心からｘｌ／２（０＜ｘ＜１）で角度θに折り曲げる．断面積は

　　Ｓ＝Ｌ^2／４・（１−ｘ）ｓｉｎθ｛２ｘ＋（１−ｘ）ｃｏｓθ

　　∂Ｓ／∂ｘ＝Ｌ^2／４・｛２（１−２ｘ）ｓｉｎθ−２（１−ｘ）ｓｉｎθｃｏｓθ）＝０

　　∂Ｓ／∂θ＝Ｌ^2／４・｛２ｘ（１−ｘ）ｃｏｓθ＋（１−ｘ）^2（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ｝＝０

　ｃｏｓθ＝（１−２ｘ）／（１−ｘ）を代入して整理すると

　　３ｘ^2−４ｘ＋１＝（３ｘ−１）（ｘ−１）＝０

　　→ｘ＝１／３，θ＝π／３

　　→これは正六角形の半分であり，断面積は√３ｌ^2／１２）

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　もちろん，断面積Ｓが最大になるのは半円形（ｒ＝Ｌ／π）のときで，

　　Ｓ＝Ｌ^2／２π

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