昨日，高校３年生の黄瑞庭君より代数曲線の接線，代数曲面の接平面の公式を「微分を用いない方法！」で導き出したというお手紙をいただきました．黄君の方法は次回紹介することにして，今回のコラムでは「微分を用いる方法」について復習しておきたいと思います．
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【１】２次曲線
２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．
２次曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線の方程式は，受験生なら誰でも知っていることなのですが，両辺をｘで微分して
ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｈｙ＋ｈｘｙ’＋２ｂｙｙ’＋ｃ＋ｄｙ’＝０
より
（ｈｘ＋２ｂｙ＋ｄ）ｙ’＋２ａｘ＋ｈｙ＋ｃ＝０
したがって，点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線の傾きｍは
ｍ＝−（２ａｘ0＋ｈｙ0＋ｃ）／（ｈｘ0＋２ｂｙ0＋ｄ）
接線の方程式：ｙ−ｙ0＝ｍ（ｘ−ｘ0）に代入して整理すると
ａｘ0ｘ＋ｈ（ｘｙ0＋ｘ0ｙ）／２＋ｂｙ0ｙ＋ｃ（ｘ＋ｘ0）／２＋ｄ（ｙ＋ｙ0）／２＋ｅ＝０
となります．
これを
ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
と比較すると，接線の方程式を求めるには
ｘ^2→ｘ0ｘ，ｙ^2→ｙ0ｙ，ｘｙ→（ｘｙ0＋ｘ0ｙ）／２，
ｘ→（ｘ＋ｘ0）／２，ｙ→（ｙ＋ｙ0）／２，ｅ→ｅ（定数項）
と置換すればよいことがわかります．
たとえば，
円：ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2の接線 → ｘ0ｘ＋ｙ0ｙ＝ｒ^2
放物線：ｙ^2＝４ｐｘの接線 → ｙ0ｙ＝２ｐ（ｘ＋ｘ0）
といった具合です．
それでは３次曲線の接線や曲面の接平面の場合もこのような便利な置換公式が存在するのでしょうか？ その検討に移る前に偏微分を復習しておきましょう．
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【２】偏微分すれば・・・
偏微分は高校数学のカリキュラムから外れていると思いますが，偏微分を使ってもよいならば
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
の両辺をｘで偏微分して
ｆx＝２ａｘ＋ｈｙ＋ｃ
ｆy＝ｈｘ＋２ｂｙ＋ｄ
ｆx＋ｆyｙ’＝０
より，
ｙ’＝−ｆx／ｆy＝−（２ａｘ＋ｈｙ＋ｃ）／（ｈｘ＋２ｂｙ＋ｄ）
となって［１］と同じ式が得られます．
このように接線・接平面の方程式を求めるには，微分よりも偏微分を用いるほうが便利で，２次曲線の場合を含んで一般のｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の接線は
ｆx(x0,y0)（ｘ−ｘ0）＋ｆy(x0,y0)（ｙ−ｙ0）＝０
で与えられます．こうすれば分母：ｈｘ0＋２ｂｙ0＋ｄ＝０の場合を考慮する必要もなくなります．
また，曲面ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の勾配はｇｒａｄｆ＝（ｆx，ｆy）と表されますから，接平面は
ｚ−ｚ0＝ｆx(x0,y0)（ｘ−ｘ0）＋ｆy(x0,y0)（ｙ−ｙ0）
で与えられます．
ｎ変数の場合の接超平面も同様に定義され，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，・・・）＝０上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0，ｚ0，ｗ0，・・・）における接超平面の方程式は
ｆx(x0,y0,z0,w0,･･･)（ｘ−ｘ0）＋ｆy(x0,y0,z0,w0,･･･)（ｙ−ｙ0）＋ｆz(x0,y0,z0,w0,･･･)（ｚ−ｚ0）＋ｆw(x0,y0,z0,w0,･･･)（ｗ−ｗ0）＋・・・＝０
となります．
ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｚ−ｆ（ｘ，ｙ）の場合は
ｇx＝−ｆx，ｇy＝−ｆy，ｇz＝１
ですから，接平面は
ｚ−ｚ0＝ｆx(x0,y0)（ｘ−ｘ0）＋ｆy(x0,y0)（ｙ−ｙ0）
で与えられるというわけです．
なお，２変数版テイラーの定理は
ｆ（ｘ＋Δｘ，ｙ＋Δｙ）＝ｆ（ｘ0，ｙ0）＋１／１！（Δｘ∂／∂ｘ＋Δｙ∂／∂ｘ）ｆ（ｘ0，ｙ0）＋１／２！（Δｘ∂／∂ｘ＋Δｙ∂／∂ｘ）^2ｆ（ｘ0，ｙ0）＋１／（ｎ−１）！（Δｘ∂／∂ｘ＋Δｙ∂／∂ｘ）^(n-1)ｆ（ｘ0，ｙ0）＋１／ｎ！（Δｘ∂／∂ｘ＋Δｙ∂／∂ｘ）^nｆ（ｘ0＋θΔｘ，ｙ0＋θΔｙ）
ｎ変数版も同様に表されます．
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【３】１次，３次曲線の場合
［１］の２次曲線では接線の定数項：
−（２ａｘ0＋ｈｙ0＋ｃ）ｘ0−（ｈｘ0＋２ｂｙ0＋ｄ）ｙ0
＝−２ａｘ0^2−２ｈｘ0ｙ0−２ｂｙ0^2−ｃｘ0−ｄｙ0
＝２ｅ＋ｃｘ0＋ｄｙ0
としましたが，
＝ｅ−ａｘ0^2−ｈｘ0ｙ0−ｂｙ0^2
とおくこともできます．
この場合の接線の方程式は
ａ（２ｘ0ｘ−ｘ0^2）＋ｈ（ｘｙ0＋ｘ0ｙ−ｘ0ｙ0）＋ｂ（２ｙ0ｙ−ｙ0^2）＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
置換の仕方は
ｘ^2→２ｘ0ｘ−ｘ0^2，ｙ^2→２ｙ0ｙ−ｙ0^2，ｘｙ→ｘｙ0＋ｘ0ｙ−ｘ0ｙ0，
ｘ→ｘ，ｙ→ｙ，ｅ→ｅ（定数項）
となります．定数項の処理の仕方によって，置換の表現形が異なるので注意が必要です．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
直線：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線は，点Ｐがどこにあろうともその直線自身です．
ｆx＝ａ，ｆy＝ｂ → ａ（ｘ−ｘ0）＋ｂ（ｙ−ｙ0）＝０
ここでａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ＝０ですから，接線の方程式は
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０
１次式の置換はｘ→ｘ，ｙ→ｙ，ｃ→ｃですから，したがって［１］に掲げた２次式の置換
ｘ→（ｘ＋ｘ0）／２，ｙ→（ｙ＋ｙ0）／２，ｃ→ｃ
よりもここで掲げた
ｘ→ｘ，ｙ→ｙ，ｅ→ｅ（定数項）
のほうが整合性がとれていて，高次元に一般化するのに都合がいいかもしれません．
３次曲線の場合，
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^3＋ｂｘ^2ｙ＋ｃｘｙ^2＋ｄｙ^3＋ｅｘ^2＋ｆｘｙ＋ｇｙ^2＋ｈｘ＋ｉｙ＋ｊ＝０
ｆx＝３ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2＋２ｅｘ＋ｆｙ＋ｈ
ｆy＝ｂｘ^2＋２ｃｘｙ＋３ｄｙ^2＋ｆｘ＋２ｇｙ＋ｉ
接線の方程式は
（３ａｘ0^2＋２ｂｘ0ｙ0＋ｃｙ0^2＋２ｅｘ0＋ｆｙ0＋ｈ）（ｘ−ｘ0）＋（ｂｘ0^2＋２ｃｘ0ｙ0＋３ｄｙ0^2＋ｆｘ0＋２ｇｙ0＋ｉ）（ｙ−ｙ0）＝０
その定数項は
−（３ａｘ0^2＋２ｂｘ0ｙ0＋ｃｙ0^2＋２ｅｘ0＋ｆｙ0＋ｈ）ｘ0−（ｂｘ0^2＋２ｃｘ0ｙ0＋３ｄｙ0^2＋ｆｘ0＋２ｇｙ0＋ｉ）ｙ0
＝−３ａｘ0^3−３ｂｘ0^2ｙ0−３ｃｘ0ｙ0^2−３ｄｙ0^3−２ｅｘ0^2−２ｆｘ0ｙ0−２ｇｙ0^2−ｈｘ0−ｉｙ0
＝３ｊ＋ｅｘ0^2＋ｆｘ0ｙ0＋ｇｙ0^2＋２ｈｘ0＋２ｉｙ0
ここで，接線の方程式を（変数ごとでなく）係数ごとに整理してみます．すると，
ａｘ0^2ｘ＋ｂ（２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ）／３＋ｃ（ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ）／３＋ｄｙ0^2ｙ＋ｅ（２ｘ0ｘ＋ｘ0^2）／３＋ｆ（ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ＋ｘ0ｙ0）／３＋ｇ（２ｙ0ｙ＋ｙ0^2）／３＋ｈ（ｘ＋２ｘ0）／３＋ｉ（ｙ＋２ｙ0）／３＋ｊ＝０
置換は
ｘ^3→ｘ0^2ｘ，ｙ^3→ｙ0^2ｙ，
ｘ^2ｙ→（２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ）／３，
ｘｙ^2→（ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ）／３，
ｘ^2→（２ｘ0ｘ＋ｘ0^2）／３，ｙ^2→（２ｙ0ｙ＋ｙ0^2）／３，
ｘｙ→（ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ＋ｘ0ｙ0）／３，
ｘ→（ｘ＋２ｘ0）／３，ｙ→（ｙ＋２ｙ0）／３，ｊ→ｊ（定数項）
また，定数項を
＝２ｊ−ａｘ0^3−ｂｘ0^2ｙ0−ｃｘ0ｙ0^2−ｄｙ0^3＋ｈｘ0＋ｉｙ0
とおいた場合の接線の方程式は，
ａ（３ｘ0^2ｘ−ｘ0^3）＋ｂ（２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ−ｘ0^2ｙ0）＋ｃ（ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ−ｘ0ｙ0^2）＋ｄ（３ｙ0^2ｙ−ｙ0^3）＋２ｅｘ0ｘ＋ｆ（ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ）＋２ｇｙ0ｙ＋ｈ（ｘ＋ｘ0）＋ｉ（ｙ＋ｙ0）＋２ｊ＝０
となって，置換は
ｘ^3→（３ｘ0^2ｘ−ｘ0^3）／２，ｙ^3→（３ｙ0^2ｙ−ｙ0^3）／２，
ｘ^2ｙ→（２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ−ｘ0^2ｙ0）／２，
ｘｙ^2→（ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ−ｘ0ｙ0^2）／２
ｘ^2→ｘ0ｘ，ｙ^2→ｙ0ｙ，ｘｙ→（ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ）／２，
ｘ→（ｘ＋ｘ0）／２，ｙ→（ｙ＋ｙ0）／２，ｊ→ｊ（定数項）
となります．置換公式は一意には決まらないのです．
あるいは，定数項を
＝ｊ−２ａｘ0^3−２ｂｘ0^2ｙ0−２ｃｘ0ｙ0^2−２ｄｙ0^3−ｅｘ0^2−ｆｘ0ｙ0−ｇｙ0^2
とおくと，接線の方程式は，
ａ（３ｘ0^2ｘ−２ｘ0^3）＋ｂ（２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ−２ｘ0^2ｙ0）＋ｃ（ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ−２ｘ0ｙ0^2）＋ｄ（３ｙ0^2ｙ−２ｙ0^3）＋ｅ（２ｘ0ｘ−ｘ0^2）＋ｆ（ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ−ｘ0ｙ0）＋ｇ（２ｙ0ｙ−ｙ0^2）＋ｈｘ＋ｉｙ＋ｊ＝０
置換は
ｘ^3→３ｘ0^2ｘ−２ｘ0^3，ｙ^3→３ｙ0^2ｙ−２ｙ0^3，
ｘ^2ｙ→２ｘ0ｙ0ｘ＋ｘ0^2ｙ−２ｘ0^2ｙ0，
ｘｙ^2→ｙ0^2ｘ＋２ｘ0ｙ0ｙ−２ｘ0ｙ0^2
ｘ^2→２ｘ0ｘ−ｘ0^2，ｙ^2→２ｙ0ｙ−ｙ0^2，
ｘｙ→ｙ0ｘ＋ｘ0ｙ−ｘ0ｙ0，
ｘ→ｘ，ｙ→ｙ，ｊ→ｊ（定数項）
となります．２次式の場合と比べるといかめしく感じられるのですが，何か法則性はありそうです．
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【４】平面代数曲線
ｘ，ｙの多項式：ｆ（ｘ，ｙ）＝０で与えられている曲線を代数曲線，多項式の次数をこの曲線の次数と呼びます．次数が２より大きい代数曲線は尖点や自己交差点のような特異点をもつこともあります．
３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の例としては，ディオクレスのシッソイド（ｘ^3＋ｘｙ^2＝ｙ^2）があげられますが，これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です．また，
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
ｙ^3＝ｘｙ^2−２ｘ^2ｙ＋ｙ−３
なども３次曲線で，一般式の項数は１０になります．そこで，・・・
（Ｑ）平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は？
（Ａ）3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２
２次曲線の分類については，３種類の円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線になることは既に述べたとおりですが，同じことをもっと高次の曲線・曲面に対して考えるのは自然なことでしょう．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．
ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．
また，一直線上にない３点を通る２次曲線，４点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合：
ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
のようにｙ＝ｆ（ｘ）の場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．
ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしたのです．
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【５】代数曲面の分類
空間内の２次曲面の分類もよく知られていて，２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類されます．２次曲面には無数に多くの直線がのっているものがあり，その場合には直線を織りなして得られる曲面という意味で「線織面」と呼ばれます．直線が乗っている曲面といいかえてももよいでしょう．
円柱や円錐は線織面になっています．円柱や円錐は１通りの直線族でできていますが，線織面の中には２通りの直線族によって作られているものもあり，一葉双曲面（つづみ型）や双曲放物面がその例です．線織面のガウス曲率は常にゼロ以下ですが，ガウス曲率が常にゼロより小さく２通りの直線族によって作られているものは一葉双曲面と双曲放物面の２つに限られます．（３通りの直線族によって作られるものは平面だけです．）
２次曲面が直線の族を含んでいるという事実は建築でも実際に応用されますが，カーブを描いた曲面をコンクリートを使って建設できるということは明らかに利点です．
一方，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には高々２７本の直線しか含まないことが証明されています（サルモン，１８８４年）．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）です．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいません．
代数曲線は，種数を用いて有理曲線，楕円曲線，超楕円曲線などに分類されましたが，（極小）代数曲面は種数と小平次元，不正則数の組合せを使って分類され，Ｋ３曲面，エンリケス曲面，アーベル曲面，楕円曲面，超楕円曲面などに分類されることが示されています．
このようにして，１９００年当時まで，５次曲線までと３次曲面までのトポロジカルな分類は既に知られていたようです．
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