【１】正２４胞体は平行多面体である

　正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができます．

　正２４胞体は自己双対とはいっても，正四面体のように面の対蹠が頂点になっているわけではありません．正２４胞体は中心対称であって，平行多面体なのです．

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあり，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

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【２】正１６胞体は平行多面体ではない

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）ですが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

　ところで，４次元立方体の１つおきの頂点を結べば，正１６胞体ができますから，正１６胞体は平行移動だけで空間充填することはできません．正１６胞体は平行多面体ではないのです．なお，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっています．

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［補］中心からひとつおきの頂点ベクトル

　　（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１）は互いに直交して長さが２，すなわち，正１６胞体ができます．

　一方，切りとった直角三角錐ＲＴの頂点ベクトルは

　　（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１）であって，（１，１，１，１）方向を向きません．

　このことから，正１６胞体は平行多面体ではないことがわかります．

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