Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
ζn＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・＋１／ｎ^s
と定義します．オイラーの無限級数和ζ∞＝Σ１／ｎ^sは，ｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ゼータ関数は無限調和級数Ｈ∞＝ζ（１）＝∞を一般化したものと考えることができます．
調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，
Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞
は容易に示すことができます．
また，素数の逆数の和
Ｈprime＝Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｌｏｇｎ→∞
より，素数の逆数の和は発散することが示されます．→コラム「ハーディ・リトルウッド予想とアルティン予想」参照
１７３７年，オイラーはこのようにして素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．逆に，このことから素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，またオイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．
今回のコラムでは，Sugimoto氏，杉岡幹生氏に教えてもらったGourdon/Sebahのサイト
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/constantsNumTheory.html
の助けを借りて，分母が素数の「素数ゼータ関数」
ζp（ｓ）＝Σ（１／ｐ^s）＝１／２^s＋１／３^s＋１／５^s＋１／７^s＋１／１１^s＋・・・
について紹介したいと思います．
ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^-s）^-1
の右辺はオイラー積と呼ばれ，ゼータ関数と素数の間をつなぐ式になっていますが，素数ゼータ関数のようにさまざまのゼータごとに素数のいろいろな面をみることができます．
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【１】素数ゼータ関数
ζp（１）＝∞ですが，Re(s)>1ならばζp（ｓ）は収束します．そして，メビウス関数を用いると収束が加速されます．ζ(ｓ)^-1はメビウス関数μ（ｎ）のディリクレ型母関数
ζ(ｓ)^-1＝Σμ（ｎ）／ｎ^s
ですが，さらに，ゼータ関数と素数ゼータ関数の間には
ｌｏｇζ(ｓ)＝−Σｌｏｇ（１−ｐ^-s）^-1＝Σζp（ｓｎ）／ｎ
が成り立ちますから，メビウスの反転公式により
ζp（ｓ）＝Σμ（ｎ）／ｎ・ｌｏｇζp（ｓｎ）
メビウス関数がゼータ関数と素数ゼータ関数の間をつなぐ式になっているというわけです．
これより，
ζp（２）＝ｌｏｇζ（２）−ｌｏｇζ（４）／２−ｌｏｇζ（６）／３−ｌｏｇζ（１０）／５＋・・・
より
ζp（２）＝0.4522474200･･･
１７４８年，オイラーはこのようにして素数ゼータ関数の値を求めました．以下同様に，
ζp（３）＝0.1747626392･･･ ζp（６）＝0.0170700868･･･
ζp（４）＝0.0769931397･･･ ζp（７）＝0.0082838328･･･
ζp（５）＝0.0357550174･･･ ζp（８）＝0.0040606140･･･
興味があるのは数値計算ではなく，解析的な値です．杉岡幹生氏は
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page138.htm
の中でζp（ｓ）＝ｋζ（ｓ）あるいはζp（ｓ）＝Σｗiζ（ｉ）のような表現を模索しているのですが，容易な問題ではありません．
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【２】アルティンの定数
１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・
（循環節：１４２７５８の長さ６）
１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・
（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）
のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．
１０を原始根とする素数，たとえば，
７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・
の密度について，アルティンは
π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想しています．ただし，ｐを素数として，Ｃは
Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）
ここでオイラー積Π（１−ｐ^-s）^-1のアナログ：アルティン積が出現しました．もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．
ｌｏｇＣ＝Σｌｏｇ（（ｐ^2−ｐ−１）／ｐ（ｐ−１））
＝Σｌｏｇ（（１−φ／ｐ）（１−ψ／ｐ）／（１−１／ｐ））
＝−Σ（ｆn−１）／ｎ・ζp（ｎ）
ここでφ，ψはｐ^2−ｐ−１＝０の２根，｛ｆn｝はフィボナッチ数列でｆ1＝１，ｆ2＝３，ｆn+2＝ｆn+1＋ｆn
これより
ｌｏｇＣ＝−ζp（２）−ζp（３）−ζp（４）・３／２−・・・
Ｃ＝0.3739558136･･･
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【３】ハーディ・リトルウッドの双子素数定数
１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがこれを証明しました．チェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．
一方，その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），（２９，３１），（４１，４３）・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．
双子素数は数が大きくなるにつれてどんどん少なくなっていくのですが，双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．双子素数の場合に難しいのは素数全体のときと異なって，双子素数の逆数の和
１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・＋１／ｐ＋１／（ｐ＋２）＋・・・
が無限大とはならずに，その和が１．９０１９５・・・（オランダの数学者，ブルンの定数：１９１９年）となることが証明されている点です．このことは，双子素数が無限にあるとしてもまれにしか存在しないことを示しています．そのため，双子素数が無限に存在することの有力な証拠は見つかっているにもかかわらず，完全な証明には至っていないのです．
双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，
πtwin（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2
ただし，ｐを３以上の素数として
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・
と予想されています．ここで，Ｃはオイラー積のアナログであり，双子素数の場合のゼータ関数とみなすことができます．定まった用語ではないのですが，ハーディ・リトルウッド積と呼んでいいでしょう．この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．
Ｃ2 ＝Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝Πｐ（ｐ−２）／（ｐ−１）^2
＝Π（１−２／ｐ）／（１−１／ｐ）^2
アルティンの定数の場合と同様に
ｌｏｇＣ2 ＝Σｌｏｇ（（１−２／ｐ）／（１−１／ｐ）^2）
＝−Σ（２−２^n）／ｎ・（ζp（ｎ）−１／２^n）
これより
Ｃ2 ＝0.6601618158･･･
現在のところ，双子素数予想にもっとも接近した結果は，１９６６年，陳景潤によるもので，陳景潤は素数と概素数（素因数を２つしかもたない合成数）のペアは無限に存在することを証明しました．これは無限に多くの双子素数が存在することに大変接近した結果であって，双子素数予想の証明に向かって最初の大きな一歩と考えられます．もう一歩進んで「概」を取り去ることに成功した者が，素数理論の大快挙を成し遂げたことになるのです．
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【４】４で割って１余る素数と３余る素数
素数が無限個あることはわかっていますが，ガウスはπ（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
が成り立つだろうと予想しました．この素数密度予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．
また，素数は４で割って１余る素数と４で割って３余る素数の２種類に分類できます（２だけは例外）．前者の素数はつねに２つの２乗数の和となりますが，後者の素数は決してその形には表せません．
（例）１３＝２^2＋３^2，１９＝？^2＋？^2
この定理はフェルマー・オイラーの２平方和定理として知られています．
それでは，４で割って１余る素数と４で割って３余る素数ではどちらが多いでしょうか？ 実は，４で割って１余る素数，４で割って３余る素数の逆数和がともに無限大になり，どちらも無限個あってほぼ同じくらい存在することが示されています．
π4,1（ｘ）〜π4,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ
また，
ζp（ｓ）＝１／２^s＋ζq（ｓ）＋ζr（ｓ）
ζq（ｓ）＝１／５^s＋１／１３^s＋１／１７^s＋・・・
ζr（ｓ）＝１／３^s＋１／７^s＋１／１１^s＋・・・
と定義すると，これらはメビウス関数とディリクレのＬ関数
Ｌ（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・
を用いて
ζp（ｓ）＝1/2Σμ（２ｎ＋１）／（２ｎ＋１）ｌｏｇγ（２ｎ＋１）ｓ
ζq（ｓ）＝1/2Σμ（２ｎ＋１）／（２ｎ＋１）ｌｏｇα（２ｎ＋１）ｓ
ζr（ｓ）＝1/2Σμ（２ｎ＋１）／（２ｎ＋１）ｌｏｇβ（２ｎ＋１）ｓ
γ（ｓ）＝ζ^2（ｓ）／ζ（２ｓ）
α（ｓ）＝（１＋２^-s）^-1Ｌ（ｓ）ζ（ｓ）／ζ（２ｓ）
β（ｓ）＝（１−２^-s）ζ（ｓ）／Ｌ（ｓ）
と表されます．
これより
ζq（２）＝0.0538137635･･･ ζr（２）＝0.1484336564･･･
ζq（３）＝0.0087550827･･･ ζr（３）＝0.0410075565･･･
ζq（４）＝0.0016495841･･･ ζr（４）＝0.0128435556･･･
と計算されます．
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【５】杉岡の交代素数ゼータ関数
さらに，杉岡氏は交代素数ゼータ関数とも呼ぶべき
ζs（ｓ）＝１／２^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋１／１１^s−・・・
をも考察しています．Re(s)>1ならば収束しますが，４で割って１余る素数と３余る素数のような規則性もなく一層むずかしい問題になります．
［参］マンゴルト関数
−ζ(ｓ)’／ζ(ｓ)＝ΣΛ（ｎ）／ｎ^s
オイラー積のように，マンゴルト関数もゼータ関数と素数の間をつなぐ式になっています．
ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^-s）^-1
ｌｏｇζ(ｓ)＝−Σｌｏｇ（１−ｐ^-s）
−ζ(ｓ)’／ζ(ｓ)＝Σｐ^-sｌｏｇｐ／（１−ｐ^-s）
＝Σｌｏｇｐ／（ｐ^s−１）
ζ’（ｓ）＝−Σｌｏｇｎ／ｎ^s
［参］ディリクレのＬ関数
Ｌ（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・
において，ｓ＝１とおいたグレゴリー・ライプニッツ級数（１６７１年）
１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・
の収束値を求めてみましょう．
１／（１＋ｘ）＝１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・
これを項別積分すると
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・
が得られます．ここで，ｘをｘ^2に置き換えると
１／（１＋ｘ^2）＝１−ｘ^2＋ｘ^4−ｘ^6＋・・・
これを項別積分して
ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7 ＋・・・
両辺にｘ＝１を代入すると，グレゴリー・ライプニッツ級数は
ａｒｃｔａｎ１＝π／４
に収束することがわかります．Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)=π/4
ｓ＝２とおいた
１／１^2−１／３^2＋１／５^2−１／７^2＋・・・
＝1/2∫(0,π/2)θ/sinθdθ=0.91596･･･
この数はカタランの定数として知られるものです．オイラーの定数と同様，超越数であることが予想されているものの，いまだに無理数であるかどうかさえも証明されていません．この値は第１種完全楕円積分
K(k)=∫(0,π/2)dθ/root(1-k^2sin^2θ) （ルジャンドルの標準形）
として，2∫(0,1)K(k)dkに等しくなります．
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