■置換多面体の空間充填性(その72)

[1]n次元正単体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>k)は,双対を考えて,n-k次元胞内のn-m次元胞と同数,

  (n-k,n-m)

です.なお,m<kのときは,k次元正単体の含むm次元胞の数は

  (k+1,m+1)

個になります.

[2]n次元正軸体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>k)は,2項係数を使って,

  2^m-k(n-1-k,m-k)

です.

 したがって,切頂点に集まるn-1次元面数は

  (tp+1,1)+2^n-1-fp

になりましたが,同様に切頂点に集まるn-2次元面数は

  (tp+1,2)+2^n-2-fp(n-1-fp)

になるはずです.

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[1]n=6のとき,

  {3,3,3,3,4}(0,0,1,0,0,0)

  tp=2,fp=2

の4次元面は

  切頂面{3,3,4}(1,0,0,0)3個・・・頂点数8

  n-2次元面{3,3,3}(0,0,1,0)12個・・・頂点数10

 f4=(3/8+12/10)・f0

 f0=160→f4=60+192=252→NG

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[2]n=5のとき,{3,3,3,4}(01100),f0=240

  tp=1,fp=2

 切頂点の周囲の3次元面に関しては

  切頂面{3,4}(100)1個・・・頂点数6

  3次元面{3,3}(011)4個・・・頂点数12

  f3=(1/6+4/12)f0

  f0=240,f3=120→NG

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[3]雑感

 このシリーズでうまくいっていた反転公式をもってしてもダメであった.答えが小さすぎるのであるが,原因は何処に.

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