■置換多面体の空間充填性(その59)
小括しておきたい.
空間充填2(2^n−1)胞体は単純多面体であり,その頂点の回りにはn個のファセットが集まる.したがって,空間充填形では頂点の回りにn+1個のファセットが集まることになる.
しかしながら,空間充填2^n+2n胞体は2−3次元の場合を除き,単純多面体にはならない.(その37)では反転公式を利用して空間充填形の頂点の回りに集まる胞体数を求めたが,何せ高次元のことであるから確信がもてない.
なお,頂点の回りに集まるファセット数は,切頂面か原正多胞体のn−1次元面しかない.各々
n=3のとき,1と2
n=4,5のとき,2と4
n=6,7のとき,3と8
n=8,9のとき,4と16
n=10,11のとき,5と32
であるが,(その51)−(その52)では,
n=3のとき,1と2
n=4,5のとき,2と4
n=6,7のとき,3と8
の正しさが確認されたことになる.
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