■置換多面体の空間充填性(その56)

 (その54)より,この計算方法はn−1次元面ではよいが,n−2次元面では不確かのようである.同様に1次元面もn次元多面体を基にして,直接次数計算した方がよいようである.n−1次元面から次数計算すると不確かさを生ずるという例を掲げる.

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[1]n=3のとき,{3,4}(110),f0=24

 切頂点の周囲には

  切頂面{4}(10)1個・・・頂点数4

  2次元面{3}(11)2個・・・頂点数6

  f2=(1/4+2/6)・f0=14

 さらに切頂点の周囲の1次元面に関しては,{3,4}(110)の頂点次数が3であることより,

  f1=3・f0/2=36

となるが,また,

  切頂面{4}(10)1個・・・頂点次数2

  2次元面{3}(11)2個・・・頂点次数2

  f1=(1/2+2/2)・f0=36

とすることも,さらに

  切頂面{4}(10)1個・・・{}{1)は1個

  切頂面{3}(11)1個・・・{}{1)は2個

  f1=(1+2)・f0/2=m・f0/2=36

とすることも可能と思われる.

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[2]n=4のとき,{3,3,4}(0100),f0=24

 切頂点の周囲には

  切頂面{3,4}(100)2個・・・頂点数6

  3次元面{3,3}(010)4個・・・頂点数6

  f3=(2/6+4/6)・f0=24

 さらに切頂点の周囲の2次元面に関しては

  切頂面{3,4}(100)2個・・・頂点数6

これは{3,4}をP0で切頂したものであるから,頂点に集まる2次元面は

  {4}(00)2個・・・頂点数0

  {3}(10)4個・・・頂点数3

  3次元面{3,3}(010)4個・・・頂点数6

これは{3,3}をP1で切頂したものであるから,頂点に集まる1次元面は

  {3}(01)2個・・・頂点数3

  {3}(10)2個・・・頂点数3

  f2=(8/3+16/3)・f0=192

これを2で割って96となる.やはり2で割ることは必要そうだ.

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 さらに切頂点の周囲の1次元面に関しては

  切頂面{3,4}(100)2個・・・頂点次数4

その内訳は,これは{3,4}をP0で切頂したものであるから,頂点に集まる1次元面は

  {4}(00)0個

  {3}(10)4個

  3次元面{3,3}(010)4個・・・頂点次数4

その内訳はこれは{3,3}をP1で切頂したものであるから,頂点に集まる1次元面は

  {3}(01)2個

  {3}(10)2個

  f1=(8/2+16/2)・f0≠96

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