■置換多面体の空間充填性(その52)
(その45)−(その47)では正多面体型
f=x/a・f0
の扱いであったが,(その51)で準正多面体型
f=(x/a+y/b)・f0
型の扱いができるようになった.さらに進めてみたい.
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n次元正軸体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>m>k)は,2項係数を使って,
2^m-k(n−1−k,m−k)
である.
[1]偶数次元
(0,・・,0,1,0,・・,0)
tp=n/2−1
切頂面:tp+1(ただし,n=2のときは0)
n−1次元面=2^n-tp-1
それに2を加えると,tp+3+2^n-tp-1=n/2+2+2^n/2
n=2のときは例外であって,n/2+1+2^n/2
[2]奇数次元
(0,・・,0,1,1,0,・・,0,0)
tp=(n−1)/2−1
切頂面:tp+1
n−1次元面=2^n-tp-2
それに1を加えると,tp+2+2^n-tp-2=(n−1)/2+1+2^n-(n-1)/2-1
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[1]n=5のとき{3,3,3,4}(0,1,1,0,0)
4次元面は
切頂面{3,3,4}(1,1,0,0)2個・・・頂点数48
n−1次元面{3,3,3}(0,1,1,0)4個・・・頂点数30
f4=(2/48+4/30)・f0
f0=240→f4=10+32=42→OK
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[2]n=6のとき{3,3,3,3,4}(0,0,1,0,0,0)
5次元面は
切頂面{3,3,3,4}(0,1,0,0,0)3個・・・頂点数40
n−1次元面{3,3,3,3}(0,0,1,0,0)8個・・・頂点数20
f5=(3/40+8/20)・f0
f0=160→f5=12+64=764→OK
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