■置換多面体の空間充填性(その52)

 (その45)−(その47)では正多面体型

  f=x/a・f0

の扱いであったが,(その51)で準正多面体型

  f=(x/a+y/b)・f0

型の扱いができるようになった.さらに進めてみたい.

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 n次元正軸体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>m>k)は,2項係数を使って,

  2^m-k(n−1−k,m−k)

である.

[1]偶数次元

  (0,・・,0,1,0,・・,0)

  tp=n/2−1

  切頂面:tp+1(ただし,n=2のときは0)

  n−1次元面=2^n-tp-1

  それに2を加えると,tp+3+2^n-tp-1=n/2+2+2^n/2

  n=2のときは例外であって,n/2+1+2^n/2

[2]奇数次元

  (0,・・,0,1,1,0,・・,0,0)

  tp=(n−1)/2−1

  切頂面:tp+1

  n−1次元面=2^n-tp-2

  それに1を加えると,tp+2+2^n-tp-2=(n−1)/2+1+2^n-(n-1)/2-1

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[1]n=5のとき{3,3,3,4}(0,1,1,0,0)

 4次元面は

  切頂面{3,3,4}(1,1,0,0)2個・・・頂点数48

  n−1次元面{3,3,3}(0,1,1,0)4個・・・頂点数30

 f4=(2/48+4/30)・f0

 f0=240→f4=10+32=42→OK

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[2]n=6のとき{3,3,3,3,4}(0,0,1,0,0,0)

 5次元面は

  切頂面{3,3,3,4}(0,1,0,0,0)3個・・・頂点数40

  n−1次元面{3,3,3,3}(0,0,1,0,0)8個・・・頂点数20

 f5=(3/40+8/20)・f0

 f0=160→f5=12+64=764→OK

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