ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の頂点を超平面で切り落として残る空間充填図形（２^n＋２ｎ胞体）の面数は

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）　　　（正方形）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３，１４）　　　（切頂八面体）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）　　　（正２４胞体）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（２４０，７２０，７２０，２８０，４２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１６０，１４４０，２８８０，２１６０，６３６，７６）

と計算された．この結果はコンピュータによる数え上げと一致した．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ／２，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，ｘ／２）の２点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ3（ｘ，０，−ｘ／２）の１点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０　　　　　（正方形）

　これより，

　　ｆ2＝（２／６＋１／４）・ｆ0＝１４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ，０，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，０，ｘ），Ｐ3（０，ｘ，ｘ，０），Ｐ4（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ5（ｘ，０，−ｘ，０），Ｐ6（ｘ，０，０，−ｘ），Ｐ7（０，ｘ，−ｘ，０），Ｐ8（０，ｘ，０，−ｘ）の４点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ7−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　正方形と正六角形は関与しないので

　　ｆ2＝（１２／３）・ｆ0＝９６

となって正解が得られた．

　次はｆ3の番であるが，

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

は正八面体構造である．このような正八面体構造が６つあるので，

　　ｆ3＝（６／６）・ｆ0＝２４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［３］ｎ＝５のとき

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5とＰ4−Ｐ−Ｐ6でｃｏｓθ＝０となるが，実際に正方形面を作るのではなく，切頂面にできる正八面体の赤道となる．したがって，点Ｐは５枚の正三角形と８枚の正六角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５／３＋８／６）・ｆ0＝３ｆ0

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）１個と切頂四面体（頂点数１２）１２個である．

　　ｆ3＝（１／６＋１２／１２）・ｆ0＝７ｆ0／６

　ｆ0＝２４０，ｆ1＝３ｆ0，ｆ2＝３ｆ0，ｆ3＝７ｆ0／６となって，オイラー・ポアンカレの公式を満たす．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［４］ｎ＝６のとき

　この場合も実際に正方形面や正六角形面を作るのではなく，したがって，点Ｐは５４枚の正三角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５４／３）・ｆ0＝１８ｆ0

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）３６個と四面体（頂点数４）３０個である．

　　ｆ3＝（３０／４＋３６／６）・ｆ0＝２７ｆ0／２

　　ｆ0＝１６０，ｆ1＝９ｆ0，ｆ2＝１８ｆ0，ｆ3＝２７ｆ0／２となるが，オイラー・ポアンカレの公式を満たすためには，

　　ｆ4＝７ｆ0／２＋７６＝６３６

である必要がある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝