パウル・シャッツ環はパウル・シャッツ立体（ａ＝１／√３）３対を使ったサメの顎のような動くおもちゃで，輪郭が正六角形となるとき中央には正三角形の穴があき，中央の穴が閉じたとき片面は正三角形の平面になる．

　６個が中心の１点に会したとき，片面が平面となり中央の穴が閉じるためには，直角三角形（１，ａ，（ａ^2＋１）^1/2）のひとつの内角が６０°となることが必要である．

　　arctanａ＝π／６　→　ａ＝１／√３（パウル・シャッツ立体）

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　もし，一般化したパウル・シャッツ立体４対を使った環の８個が中心の１点に会したとき，片面が平面となり中央の穴が閉じるためには，直角三角形（１，ａ，（ａ^2＋１）^1/2）のひとつの内角が４５°となることが必要であるから，

　　arctanａ＝π／４　→　ａ＝１（鼈臑）

以下，中川宏さん製作の鼈臑リングの写真を掲げる．

　鼈臑は８個の環で連続回転が可能になるが，実際に動かしてみると遊びがあり，同じ角度でも取り得る形はひとつに決まらない．それに対して，６個のパウル・シャッツ立体からなる環は常にタイトで，角度を決めれば形が一通りに定まる１自由度の系である．パウル・シャッツ環の秀逸さを示すものであろう．

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