切頂八面体の頂点次数は３である．また，頂点には（３，２）＝３個の２次元面が集まる．

　正２４胞体の頂点次数は８である．また，頂点には６個の３次元面が集まる．このことからどのようなことがわかるだろうか？

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　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ，０，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，０，ｘ），Ｐ3（０，ｘ，ｘ，０），Ｐ4（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ5（ｘ，０，−ｘ，０），Ｐ6（ｘ，０，０，−ｘ），Ｐ7（０，ｘ，−ｘ，０），Ｐ8（０，ｘ，０，−ｘ）の４点です．

　すなわち，形状ベクトル（０，１，０，０）では，ｍ＝８となり，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）あります．胞の位置には全部で１６個の正八面体ができます．また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができるので，１６＋８＝正２４胞体となるわけです．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ7−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　正方形と正六角形は関与しないので

　　ｆ2＝（１２／３）・ｆ0＝９６

となって正解が得られた．三角形ばかりの場合だと簡単だ．

　次はｆ3の番であるが，

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

は正八面体構造である．このような正八面体構造が６つあるので，

　　ｆ3＝６／６・ｆ0＝２４

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　以上のことから，８辺が４辺ずつ２組に分かれていて，一方の４辺から２辺を決めれば，他方の４辺から自動的に２辺が決まる様な構造になっていることが想像できる．

　そうであれば，頂点に集まる正八面体の数は（４，２）＝６となるのである．また，このことから＋α＝２，すなわち，８個の正２４胞体が１点の周囲に集まる空間充填であることも納得されるのである．

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