ガーバー型ソファ（半円の端を少し削れば，四分円のところを削った以上に膨らませることができる）は，直線，円弧，円のインボリュート，そのインボリュートからなる区分的組み合わせで，面積は２．２１９５，すなわち，ハマースレー型ソファを０．５％改善している．

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【１】伸開線と縮閉線

　曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり，この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします．ＭをＬの伸開線（インボリュート），ＬをＭの縮閉線（エボリュート）と呼びます．

　円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．

　また，放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^2/3 です．逆に，半立方放物線：ｙ^2＝ａｘ^3の伸開線は放物線になります．

　サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は

　　ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば

ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．

　また，等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ　　　（あるいはｒ＝ａｅｘｐｋθ）

により表される曲線で，動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，対数らせんとも呼ばれています．

　昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は等角らせんとなります．等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになります．

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています．

　　ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），ｙ＝ａｓｉｎθ

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【２】インボリュート

　歯車の形となる曲線はサイクロイド（エピサイクロイドとハイポサイクロイド）とインボリュートである．インボリュートは円に巻き付けた糸をほどいていくとき糸上の点が描く曲線である．

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

　インボリュートはスクロール方式のエアコンコンプレッサーにも使われていて，振動や騒音が少ないという特長をもっている．

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