非平面的なポリオミノはテトロミノで初めて現れる．ポリオミノの正方形を立方体に置き換えた立体ポリオミノでは，回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（８），ペントミノ（２９），ヘキソミノ（１６６），ヘプトミノ（１０２３），・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（３），トロミノ（１５），テトロミノ（９３），ペントミノ（６３９），ヘキソミノ（４６５３），ヘプトミノ（３５１６９），・・・

ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　

１ 1 1

２ 1 3

３ 2 15

４ 8 93

５ 29 639

６ 166 4653

７ 1023 35169

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【１】立体ペントミノ

　ペントミノの正方形を立方体に置き換えた立体ペントミノを１２ピース組み合わせて直方体を作る問題を考える．おもしろいことに３×４×５の直方体を作ることができる例がたくさん知られている．３×４×５の組み方は３９４０通りあるという．たとえば，

　３×４×５の直方体以外にも２×３×１０，２×５×６の直方体も作ることができる．

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［Ｑ］縦にｋ個，横にｌ個，高さｍ個の任意の直方体Ｂ（ｋ，ｌ，ｍ），たとえば，Ｂ（５，７，１５）が３種類のブロック

　　Ｂ1＝立体テトロミノ（１−３）

　　Ｂ2＝平面テトロミノ（１−２−１）

　　Ｂ3＝立体テトロミノ（１−１−３）

から作れることを示せ．

［Ａ］

　Ｂ（２，２，２）＝２Ｂ1

　Ｂ（２，３，２）＝２Ｂ1＋Ｂ2

　Ｂ（２，３，３）＝２Ｂ2＋２Ｂ3

　Ｂ（３，３，３）＝２Ｂ1＋Ｂ2＋３Ｂ3

　任意の２以上の整数は２の倍数と３の倍数の和で表せるので，直方体Ｂ（ｋ，ｌ，ｍ）を８種類の小直方体に分解できる．

　Ｂ（２，２，２）

　Ｂ（２，３，２）＝Ｂ（３，２，２）＝Ｂ（２，２，３）

　Ｂ（２，３，３）＝Ｂ（３，２，３）＝Ｂ（３，３，２）

　Ｂ（３，３，３）

よって，この４種類のブロックの組み合わせによって，任意の直方体Ｂ（ｋ，ｌ，ｍ）を作ることができる．

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