（その２）において，掛谷の問題の解としていろいろな図形を試行錯誤されてていることをみてきましたが，ソファ問題でも同様です．

　　［参］竹内薫「数学×思考＝ざっくりと」丸善

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（例１）１辺の長さが１の正方形：面積１

（例２）長方形の場合

　　長辺の長さを√２の長方形を考えると，短辺の長さは√２／２：面積１

　　長辺の長さを２の長方形を考えると，短辺の長さは√２−１：面積２（√２−１）

　　長辺の長さを２√２の長方形を考えると，短辺の長さは０：面積０

　長方形の面積は１を超えることができないのである．

（例３）三角形の場合

　　直角二等辺三角形（斜辺の長さ２）：面積１

（例４）半円の場合

　　半円（直径の長さ２）：面積π／２＞１

　ここで，一気に面積が５７％も増えた．

（例５）ハマースレー型ソファ（１×Ｌの長方形の両端に半径１の四分円をつけ加え，直径Ｌの半円を削り取った形）

　　Ｓ＝２（Ｌ／２）−π／２（Ｌ／２）^2＋π／２を最大とするＬは

　　Ｌ＝４／π

　　面積はπ／２＋２／π＝２．２０７４，すなわち，２倍（１２０％）を超える．

（例６）ガーバー型ソファ（半円の端を少し削れば，四分円のところを削った以上に膨らませることができる）．

　直線，円弧，円のインボリュート，そのインボリュートからなる区分的組み合わせで，面積は２．２１９５，すなわち，ハマースレー型ソファを０．５％改善している．

　ガーバー型ソファは局所的に最適であって，現在知られている最大のソファである．最大であると信じられているが，証明はされていない．本当に最大であるかどうかは未解決なのである．

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　直角の曲がり角を通すことのできる最大直径は２＋２√２

　最大面積はπ｛（２＋２√２）／２｝^2＝π（３＋２√２）ではなく，２√２

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