円や楕円は古典的な図形であり，現在，幾何学的に研究されることはまずない．しかし，古来より美しい曲線や図形は人々の感性に訴え，深い感動を与えると同時に理性にも訴え，なぜこうなっているのかという研究に駆りたててきた．
地球や月の形は球である．もちろん実際には完全な球ではないが，さまざまな目的のためには球で近似することは適切であろう．また，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られている．その後，惑星軌道の形は楕円であることがわかったのだが，歴史的に見て，幾何学に対する関心は自然や物理現象への応用が確立されことで強くなってきたと考えられる．
コラム「ｎ角の穴をあけるドリル」の円近似では，円上に中心をおき，円周上を回転する点の軌跡
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ
ｙ＝ａｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ
が頻繁に登場した．これはｎ公転する間に１自転するというモデルである．
また，楕円：
ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ
は２次曲線：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１であり，惑星は太陽を焦点とする楕円軌道上を運動する．楕円上に中心をおき，円周上を回転する点の軌跡
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ
ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ
は惑星を回る衛星の運動を想起させるが，実際，ｎ角の穴をあけるドリルに現れた問題でもある．→コラム「ｎ角の穴をあけるドリル（その１４）」
さらに，一般化して
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓφ
ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｃｓｉｎφ
で定義される曲線も考えることができるだろう．三角関数ｓｉｎｘは奇関数，ｃｏｓｘは偶関数で，ｃｏｓ^2ｘ＋ｓｉｎ^2ｘ＝１が成り立つ．この式が円ｘ^2＋ｙ^2＝１であることから，三角関数のことを円関数ともいう．
ともあれ，グラフに描けるからにはｆ（ｘ，ｙ）＝０あるいはｙ＝ｇ（ｘ）なるｆまたはｇは存在する．そこで問題となるのは計算により明示的に表せるか，その関数が代数的であるとか，初等関数であるとかである．円関数の組み合わせであるこの曲線は何次曲線だろうか？ ｃ＝０ならば代数的（２次曲線）であることは自明であるが，それ以外では何次曲線になるのだろうか？ それとも代数的にならないのだろうか？
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【１】平面代数曲線
２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，
ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．
同様に，３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の例としては，ディオクレスのシッソイド（ｘ^3＋ｘｙ^2＝ｙ^2）があげられますが，これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です．また，
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
ｙ^3＝ｘｙ^2−２ｘ^2ｙ＋ｙ−３
なども３次曲線で，一般式の項数は１０になります．そこで，・・・
（Ｑ）平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は？
（Ａ）3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２
多項式を用いた定義曲線では表せない（代数曲線でない）例として，サイクロイド：
ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）
や懸垂線があげられます．エピサイクロイド（カージオイド，ネフロイドなど），ハイポサイクロド（デルトイド，アステロイドなど）は，サイクロイドとは異なり代数曲線です．
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【２】代数曲線になる例
回転円（半径ｒ）が固定円（半径Ｒ）に接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えます．回転円が固定円に外接するとき，その軌跡をエピサイクロイド，内接するとき，ハイポサイクロイドと呼びます．
Ｒ／ｒ比が無理数ならば，回転円上の１点ａが固定円上の１点ｂと接した後，円が永久に転がり続けたとしても，両者は再び接することはありませんが，有理数ならば有限回の回転の後再び接します．Ｒ＝ｎｒ（ｎは自然数）の場合，ちょうど１回転後に再び接することになります．
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［１］ハイポサイクロイド
ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド
ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ・・・(1)
ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ・・・(2)
において，ｘはｃｏｓθのｎ−１次式で表されます．
ｎ＝２のとき，
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ −２≦ｘ≦２
すなわち，固定円の直径と一致します（コペルニクスの定理）．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．
また，ｎ＝３，ｒ＝１とすると，デルトイドの媒介変数表示
ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ・・・(1)
ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)
で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから
ｘ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１
これを解いて
ｃｏｓθ＝｛−１＋（２ｘ＋３）^1/2｝／２
また，(1)^2+(2)^2より
ｘ^2＋ｙ^2＝５＋４ｃｏｓ３θ
→（ｘ^2＋ｙ^2−５）／４＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ
よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるデルトイドの方程式は
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋１２ｘ＋９＋ｙ^2）^2−４（２ｘ＋３）^3
＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０
と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．
また，星形曲線アステロイドは固定円の半径が回転円の半径の４倍になっているハイポサイクロイドです．ｎ＝４，ｒ＝１とすると，アステロイドでは
ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ・・・(1)
ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ・・・(2)
ですが，３倍角の公式
ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ
ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ
を用いると
ｘ＝４ｃｏｓ^3θ
ｙ＝４ｓｉｎ^3θ
より
ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝４^2/3
を得ることができます．
これは簡単な形ですが，整数ベキに直すために両辺を３乗
３ｘ^2/3ｙ^2/3（ｘ^2/3＋ｙ^2/3）＝４^2−ｘ^2−ｙ^2
３（４ｘｙ）^2/3＝４^2−ｘ^2−ｙ^2
さらに３乗すると，アステロイドは６次曲線：
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０
と表すことができることがわかります．
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［２］エピサイクロイド
一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られています．エピサイクロイドは
ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ
ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ
で与えられます．
固定円と回転円の半径が等しい場合，エピサイクロイドは心臓型曲線（カーディオイド）を描きます．カーディオイドは，ｎ＝１として
ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ・・・(1)
ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)
で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから
ｘ＝２ｃｏｓ^2θ−２ｃｏｓθ−１
これを解いて
ｃｏｓθ＝｛−１＋（３−２ｘ）^1/2｝／２
また，(1)^2+(2)^2より
ｘ^2＋ｙ^2−５＝−４ｃｏｓθ
よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるカーディオイドの方程式は
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−３）^2−４（３−２ｘ）^3
＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０
と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．
ネフロイド（ｎ＝２）の場合は，
ｘ＝３ｃｏｓθ−ｃｏｓ３θ＝６ｃｏｓθ＋４ｃｏｓ^3θ・・・(1)
ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ・・・(2)
です．(2)よりｓｉｎ^2θ＝（ｙ／４）^2/3を(1)に代入してもよいのですが，ここでは(1)^2+(2)^2より
（ｘ^2＋ｙ^2−１０）／６＝−ｃｏｓ２θ＝２ｓｉｎ^2θ−１
に代入すると，６次曲線：
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０
になることがわかります．
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【３】関数を描く
ｃｏｓθに関するｎ−１次方程式（ｎ＋１次方程式）を解く方法は，ここまではうまくいったのですが，ｎが大きくなると難しくなります．そのため，ハイポサイクロイド（エピサイクロイド）の一般的な代数曲線表示には別の方法を用いる必要がでてくると思われますが，いまのところno ideaです．
この問題は次回以降への持ち越しとして，ここでは微分方程式の解法の応用として，陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０の描き方について考えてみます．その導入を容易にするために，まず，陽関数と媒介変数型関数について簡単に触れておきます．
［１］陽関数と媒介変数型関数
陽関数ｙ＝ｆ（ｘ）では１つの変数ｘに対してｙの値がただ１つ対応するので１価関数ともいわれます．一方，陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０は１つのｘの値に対して一般にｙの値は一意ではありません（多価関数）．極座標（ｒ，θ）を使ってｒ＝ｆ（θ）の形に表現することができる場合，たとえば，パスカルのリマソン（蝸牛線）やレムニスケート（双葉曲線）は直交座標系では陰関数となる４次曲線：
リマソン：（ｘ^2＋ｙ^2−ｂｘ）^2＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）
レムニスケート：（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ａ^2（ｘ^2−ｙ^2）
ですが，極座標ではそれぞれ
ｒ＝ａ＋ｂｃｏｓθ，
ｒ^2＝ａ^2ｃｏｓ２θ
と表され，陽関数と本質的な違いはありません．
陽関数（従属変数型関数）では，ｙ＝ｆ（ｘ）がどんなに複雑であってもきちんと式に書き表わすことさえできればグラフを描くことができます．また，媒介変数型関数（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｔ），ｇ（ｔ））の関数描画も容易ですが，陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０のグラフは簡単には描けません．もし，陰関数をｙについて解いてｙ＝ｇ（ｘ）と陽関数に変形できる場合は一価関数となるので，簡単にグラフを描くことができます．また，パラメトライズ（媒介変数表示の形に書くこと）ができればこれも容易に描画可能です．
［ａ］２次曲線のパラメータ表示例
原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とするとｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，
ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），
ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2） （−１≦ｔ≦１）
と表すことができます．
単位円上のすべての有理点（座標ｘ，ｙが有理数であるような点）は，ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）とｘ＝−１，ｙ＝０です．このように，円の有理点全体は１つの変数ｔによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．実際，ｔ＝ｍ／ｎを代入して展開すると，
ｘ＝±（ｍ^2−ｎ^2）／（ｍ^2＋ｎ^2），ｙ＝２ｍｎ／（ｍ^2＋ｎ^2）
となります．したがって，ピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2：ａ，ｂ，ｃは整数）の組み合わせは，ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2によって，すべて導き出せることがおわかり頂けることでしょう．
なお，三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．
［ｂ］３次曲線のパラメータ表示例
デカルトの正葉線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）では，ｙ／ｘ＝ｔ，すなわちｙ＝ｔｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．
ｘ＝３ａｔ／（１＋ｔ^3），ｙ＝３ａｔ^2／（１＋ｔ^3）
この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．
同様に，特異点をもつｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は楕円曲線ではありません．前者は（ｔ^3，ｔ^2），後者は（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とパラメトライズできます．
［ｃ］４次曲線のパラメータ表示例
レムニスケートは
ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4）
ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4）
のようにパラメトライズすることができます．
以上の例のごとく，直線や２次曲線（円錐曲線）はその上の点をパラメータｔの式として表せるのに対して，例えば，３次曲線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝ｃ（ｃ≠０），特異点をもたない楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０），フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１（ｎ＞２）はもはや初等的な関数ではパラメトライズされず，ｆがｘ，ｙの任意の関数である場合，陽関数表示も媒介変数表示もできるとは限りません．したがって，陰関数の描画ルーチンが必要になります．
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［２］陰関数
陽関数ｙ＝ｇ（ｘ）はｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ−ｇ（ｘ）と同じことになるので，陽関数は必ず陰関数に書き直すことができます．陰関数のグラフをコンピュータで描く方法はいろいろと工夫されています．
まず考えられるのは，グラフの全領域内を微小な長方形で埋めつくし，格子点上に離散的に関数値を計算して与えておき，各々の長方形の４辺とｆ（ｘ，ｙ）＝０との交点を１次補間法で求める方法です．しかし，この方法によるグラフ表示はかなり面倒で，ｘ値，ｙ値の探索に時間がかかるため描画時間も長くなりますし，特異点に対しては正しく描画できないという欠点もあります．そこで，もっと一般的な陰関数の描画原理について考えてみることにしましょう．
陽関数の場合に媒介変数ｔを導入してｘ＝ｔ，ｙ＝ｇ（ｔ）とすれば，これはｙ＝ｇ（ｘ）と同じことになるので，陽関数は必ずパラメータ表示に書き直すことができます．これと同様に陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０において，一意に定まるパラメータｔを導入してｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）と表わされるものとすると，座標（ｘ，ｙ）の代わりに（ｔ，ｘ（ｔ）），（ｔ，ｙ（ｔ））を用いることができるため，陽関数と同様の取り扱いが可能になります．
すなわち，陽関数，陰関数いずれの場合であってもｘ−ｙ平面上の点（ｘ，ｙ）を第３の変数ｔをパラメータとする点（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））ととらえると，ｔの変化とともに描かれる点の軌跡がグラフになります．このように陰関数でなしに，陽な形あるいは媒介変数表示の形にして書くことができれば，多価関数が自然に定義できる利点があり申しぶんありません．
したがって，陰関数表示された曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０のグラフを描くことはｆ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））＝０を満たす２つの関数ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）を見つけだすことと同等の問題になります．なんとかして媒介変数表示したいものですが，そのためには微分方程式の差分解法の知識が必須なものになってきます．
そこでまず，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０を満たす２つの数ｘ0，ｙ0が求まっているとします．ｘ（０）＝ｘ0，ｙ（０）＝ｙ0とすると点（ｘ0，ｙ0）の近傍の点（ｘ，ｙ）＝（ｘ（Δｔ），ｙ（Δｔ））で，小さなΔｔに対して
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ0，ｙ0）＋Δｘｆx（ｘ0，ｙ0）＋Δｙｆy（ｘ0，ｙ0）＋高次の項
が成立します．
ｘ＝ｘ0＋Δｘ，ｙ＝ｙ0＋Δｙ，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０，ｆ（ｘ，ｙ）＝０より
Δｘｆx（ｘ0，ｙ0）＋Δｙｆy（ｘ0，ｙ0）≒０
したがって，一般性を失なうことなく，全微分型方程式
ｄｆ／ｄｔ＝ｆx（ｘ，ｙ）ｄｘ／ｄｔ＋ｆy（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝０
が得られます．
このとき１階の連立微分方程式があって
ｄｘ／ｄｔ＝−ｆy（ｘ，ｙ），
ｄｙ／ｄｔ＝ ｆx（ｘ，ｙ）
を満たすものとします（ハミルトン型方程式）．ハミルトン型の方程式では
ｄｆ／ｄｔ＝ｆx（ｘ，ｙ）ｄｘ／ｄｔ＋ｆy（ｘ，ｙ）ｄｙ／ｄｔ＝０
が成り立ちますから，ｔについて積分するとｆ（ｘ，ｙ）＝ｃ，初期条件ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０よりｃ＝０，すなわちｆ（ｘ，ｙ）＝０となります．この式の場合，ｆはｔに関係なく一定で，点（ｘ，ｙ）は等高線上を進むと考えられますから，軌道に沿ってエネルギーが変化しない系（保存系）を表わすものと解釈されます．このような関数ｆをハミルトン関数といい，物理の世界では運動の全エネルギーを表わすものとして有名です．
以上により，グラフを描くことはハミルトン型の２元連立常微分方程式
ｄｘ／ｄｔ＝ ｆy（ｘ，ｙ），
ｄｘ／ｄｔ＝−ｆy（ｘ，ｙ）
および
ｄｙ／ｄｔ＝−ｆx（ｘ，ｙ），
ｄｙ／ｄｔ＝ ｆx（ｘ，ｙ）
を初期条件ｘ（０）＝ｘ0，ｙ（０）＝ｙ0のもとで解くことに帰着されます．たとえば，ルンゲ・クッタ法による差分解法を用いて，この解となる軌道を求めることができます．
最後に，ｆ（ｘ0，ｙ0）＝０を満たす２つの数ｘ0，ｙ0を求めてみます．この解はｘ0を適当にとりｆ（ｘ0，ｙ）をｙの関数と考えて，ニュートン・ラプソン法を用いて解ｙ＝ｙ0を求めることができます．２元連立方程式
ｆ（ｘ，ｙ）＝０，ｙ＝ｙ0
においては，更新公式Δｘ＝−ｆ（ｘ，ｙ）／ｆx（ｘ，ｙ），Δｙ＝０が得られます．この式は１変数関数におけるニュートン法の公式
Δｘ＝−ｆ（ｘ）／ｆ’（ｘ）
において微分を偏微分に変えただけで全く同じ形式をとっています．
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