正２４胞体は整数多面体（格子多面体）であるが，それを原正多胞体とする準正多胞体で，整数多面体（格子多面体）はあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正２４胞体の基本単体

　原点を中心とした方がわかりやすいが，ここでは

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝√（２／３），ａ4＝√２

を利用する．

　　Ｐ0（０，０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），√（２／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），√（２／３），√２）

　ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4の並び替えが等差数列になることが整数多面体（格子多面体）であるためのは条件である．自己双対であるから半数だけ計算する場よい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］｛３，４，３｝（１０００）の場合

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝√（２／３），ａ4＝√２

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

を計算して

　（ｙ1−ｙ2）／√４＝（ｙ2−ｙ3）／√（９／２）＝（ｙ3−ｙ4）／√４＝０→ｙ1＝ｙ2＝ｙ3＝ｙ4＝０

　　（１−ｙ1）＝１＝Ｌ

　　ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝０→ＮＧ

［２］｛３，４，３｝（０００１）の場合

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝√（２／３），ａ4＝√２

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

を計算して

　（１−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝（ｙ2−ｙ3）／√（９／２）＝０→ｙ1＝ｙ2＝ｙ3＝１，ｙ4＝０

　（ｙ3−ｙ4）／√２＝１／√２＝Ｌ

　　ｘ1＝１，ｘ2＝√（１／３），ｘ3＝√（２／３），ｘ4＝０→ＮＧ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［３］｛３，４，３｝（０１００）の場合

　（１−ｙ1）＝（ｙ2−ｙ3）／√（９／２）＝（ｙ3−ｙ4）／√２＝０→ｙ1＝１，ｙ2＝ｙ3＝ｙ4＝０，（ｙ1−ｙ2）／√４＝１／２＝Ｌ

　　ｘ1＝１，ｘ2＝０，ｘ3＝０，ｘ4＝０→ＮＧ

［４］｛３，４，３｝（００１０）は省略

［５］｛３，４，３｝（１１００）の場合

　（１−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝Ｌ

　（ｙ2−ｙ3）／√（９／２）＝（ｙ3−ｙ4）／√２＝０

→ｙ1＝２／３，ｙ2＝ｙ3＝ｙ4＝０

　　ｘ1＝２／３，ｘ2＝０，ｘ3＝０，ｘ4＝０→ＮＧ

［６］｛３，４，３｝（００１１）は省略

［７］｛３，４，３｝（０１１０）の場合

　（１−ｙ1）＝（ｙ3−ｙ4）／√２＝０

　（ｙ1−ｙ2）／√４＝（ｙ2−ｙ3）／√（９／２）＝Ｌ

→ｙ1＝１，ｙ3＝ｙ4＝０，ｙ2＝１／（１＋２√２／３）→ＮＧ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝