アーベルとガロアは加減乗除とｎ乗根√，3√，4√，・・・を使って，５次方程式には根の公式がないことを証明したのですが，肺結核に侵され不幸にして夭折した天才アーベル，そして当時の数学界に受け入れられなかった悲劇の天才ガロアはわずか２０才の１８３２年に決闘に倒れたことはあまりにも有名な悲話になっています．
アーベルとガロアが証明したことは一般的な５次方程式が係数の単純な演算を行う公式では解けないということであって，５次方程式が解けないという意味ではありません．１８６０年頃，ブリオスキ，エルミートらは超越関数である楕円モジュラー関数の５等分値を使って，初めて一般的な５次方程式を解くことに成功しました．
また，１８７０年代のクラインの研究は，正２０面体を複素球面に内接させ，頂点，各面の中心，各辺の中点の座標の関係（正２０面体方程式）を任意の５次方程式に還元させて，一般の５次方程式と特殊な６次方程式を解くのに成功しています．この５次方程式を多面体を使って調べるというアイディアは，
クライン「正２０面体と５次方程式」シュプリンガー・フェアラーク東京
に紹介されています．
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【１】正多面体の回転群
正多面体が５種類（正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正１２面体）しか存在しないことはギリシャ以来知られてきた．自然界の複雑さ・深遠さの一方で，古代の人々は５種類しか存在しない正多面体に神の摂理を見ていたのである．以下に，中川宏さん製作の木工正多面体模型を掲げる．
正多面体の回転を考えると，
(1)頂点と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｑ回転 (k=1~q-1)
(2)辺の中心と原点を通る軸を中心としたπ回転
(3)面の重心と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｐ回転 (k=1~p-1)
の３つが可能な回転軸である．
例として，正２０面体の３心図を掲げる．上から順に面心図，辺心図，点心図であり，その投影図形はそれぞれ正６角形，歪６角形，正１０角形になる．なお，正２０面体の木工製作では辺心図が重要であり，面心図，点心図はあまり役に立たない．
［参］宮崎興二編著・石井源久・山口哲共著「高次元図形サイエンス」京都大学学術出版会
正２０面体は２０個の三角形面と１２個の頂点，３０個の辺をもつ．相対する面の中心同士を結ぶ直線を軸とする２０種類の回転，相対する頂点同士を結ぶ直線を軸とする２４種類の回転，相対する辺の中心同士を結ぶ直線を軸とする１５種類の回転，それに恒等変換１種類，全部で
２０＋２４＋１５＋１＝６０
種類の回転がある．
これらの回転によって，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になることがわかる．
ＳＯ（３）の有限部分群Ａ4，Ｓ4，Ａ5はＲ^3の５種類の正多面体と密接な関係があり，Ｓ4は正６面体（正８面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合，Ａ4は正４面体（点対称性はもたないが，面対称性をもっている）を変えぬ運動の集合，Ａ5は正１２面体（正２０面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合であって，総称して「正多面体群」と呼ばれている．
正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群であるが，ＳＯ（３）にはこのほかに２種類の有限部分群がある．一つは巡回群，もうひとつは正２面体群であり，巡回群は正２面体群の部分群となっている．これらでＳＯ（３）の有限部分群をつくすことが知られている．巡回群，正２面体群とＡ4，Ｓ4，Ａ5とを併せて（広義の）正多面体群と呼ぶこともある．
以上より，ＳＯ（３）の有限合同変換群は，
(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）
(2)正２面体群（Ｄ2n：位数２ｎ）
(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型
(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型
(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型
のいずれかである．
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【２】クラインの見た正２０面体（正２０面体方程式）
幾何学に群を積極的に応用することを最初に主張したのが，クラインのエルランゲン・プログラム「幾何学とは変換群で不変な図形の性質を研究する分野」である．クラインは３次元空間内の回転対称図形は巡回群か，二面体群か，３種類の正多面体群（正四面体群，正八面体群，正二十面体群）のどれかに分類できることを証明した．
そして，方程式の根の置換群が正多面体群となるものを研究していたクラインは正２０面体の回転群Ａ5が５次方程式の根の置換群と同型であることを証明し，両者の意外な結びつきを「正２０面体と５次方程式」の中で正多面体群と方程式論が交差する美しい小宇宙として論じている．
ところで，根号√，3√，4√，・・・という束縛を外すとどうなるのだろう．ベキ根によって解くとは方程式をｚ^n＝ａに帰着させるということであるが，たとえば，媒介変数ｔを導入してｚ＝ｅｘｐ(t/n)，ａ＝ｅｘｐ(t)と書けば，指数関数と対数関数を用いて解を書き下すことができる．
そこで，５次方程式のよい媒介変数を見つけてその特殊関数によってその方程式を解くことが考えられる．５次方程式を正２０面体方程式に帰着し，媒介変数を介して楕円モジュラー関数により解を求めるという方針に従って，楕円モジュラー関数
Ｊ(τ)＝(1-240Σn^3q^n/(1-q^n)^3/12^3qΠ(1-q^n)^24，q=2πiτ
Ｊ5(τ)＝q^(1/5)Σ(-1)^nq^(5n^2-3n)/2/Σ(-1)^nq^(5n^2-n)/2
を用いると，正二十面体方程式Φ(z)＝ａの解はＪ(z)＝ａ，ｚ＝Ｊ5(τ)と表される．
すなわち，５次方程式を正２０面体方程式に帰着させれば，正２０面体の対称性から保型関数を用いることができる．１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に重さ０の保型関数
ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）
ａｄ−ｂｃ＝１
を構成した．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，
ｊ(z)=E4(z)^3/Δ(z)
＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・
と展開される．Ｊ，Ｊ5は楕円モジュラー関数と呼ばれるものであり，
Ｊ(τ)＝１／１２^3（１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋・・・）
Ｊ5はその５等分値である．
このようにして，クラインは５次方程式の回転群と楕円関数が絡み合った小宇宙で，５次方程式が特殊な楕円関数を用いて解ける理由を考察し，決定的な答えを導き出したのである．
［参］橋本義武「正２０面体方程式」数学セミナー２００７．１，日本評論社
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【３】補遺
なお，現在では６次以上の高次元でも，モジュラー関数のような他の道具を使って解けることがわかっています．さらに，条件を厳しくした下で７次方程式を解くことはできるだろうかという問題も設定することができるのですが，それに対してはまだ解決の糸口すら見つかっていません．おぼろげながらも見えないので，現在，それを研究している数学者はほとんどいません．
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