Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ−１

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1

の証明が目標であるが，ｋ＝０〜ｎとしても，

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1

となって変わらない．

　前者の方が対称性の高い形といえるが，後者の方が証明しやすいということはないだろうか？

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　ｎ−ｋ−１とｋ，すなわち，ｎ−ｋとｋ＋１を入れ替える．ｋ＝［０，ｎ−１］であるから，ｎ−ｋ−１＝［ｎ−１，０］，ｋ＋１＝［１，ｎ］であるから，ｎ−ｋ＝［ｎ，１］．また，n+1Ｃk+1→n+1Ｃn-k＝n+1Ｃk+1となる．

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ−１

＝（ｎ＋１）！Σ（ｎ−ｋ）^(n-k-1）／（ｎ−ｋ）！・（ｋ＋１）^k／（ｋ＋１）！

＝（ｎ＋１）！｛ｎ^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・ｎ^n-1／ｎ！｝

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1

より，

ｎ^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・ｎ^n-1／ｎ！＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1／（ｎ＋１）！

　　Σn+2Ｃk+1（ｎ−ｋ＋１）^(n-k）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ

＝（ｎ＋２）！Σ（ｎ−ｋ＋１）^(n-k）／（ｎ−ｋ＋１）！・（ｋ＋１）^k／（ｋ＋１）！

＝（ｎ＋２）！｛（（ｎ＋１）^n／（ｎ＋１）！・１／１！＋・・・＋１／１！・（ｎ＋１）^n／（ｎ＋１）！｝

＝（ｎ＋２）！｛（（ｎ＋１）^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・（ｎ＋１）^n-1／ｎ！｝

＝２（ｎ＋１）（ｎ＋２）^nとなるためには，

（ｎ＋１）^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・（ｎ＋１）^n-1／ｎ！＝２（ｎ＋１）（ｎ＋２）^n／（ｎ＋２）！を証明しなければならない．

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［雑感］時間をおいて考えてみたが，やはり先には進めない．これまで書かなかったことを書いてみる．

　体積公式

　　Ｖn＝ΣｂjＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Λj

が正しければ，表面積公式

　　Ｓn＝ΣｂjＮj・Ｖn-j-1Λj

も当然正しいことになる．

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