■単純リー環を使った面数数え上げ(その191)

  Σn+1Ck+1(n-k)^(n-k-1)(k+1)^k,k=0~n-1

=2n(n+1)^n-1

の証明が目標であるが,k=0~nとしても,

  Σn+1Ck+1(n-k)^(n-k-1)(k+1)^k,k=0~n

=2n(n+1)^n-1

となって変わらない.

 前者の方が対称性の高い形といえるが,後者の方が証明しやすいということはないだろうか?

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 n-k-1とk,すなわち,n-kとk+1を入れ替える.k=[0,n-1]であるから,n-k-1=[n-1,0],k+1=[1,n]であるから,n-k=[n,1].また,n+1Ck+1→n+1Cn-k=n+1Ck+1となる.

  Σn+1Ck+1(n-k)^(n-k-1)(k+1)^k,k=0~n-1

=(n+1)!Σ(n-k)^(n-k-1)/(n-k)!・(k+1)^k/(k+1)!

=(n+1)!{n^n-1/n!・1/1!+・・・+1/1!・n^n-1/n!}

=2n(n+1)^n-1

より,

n^n-1/n!・1/1!+・・・+1/1!・n^n-1/n!=2n(n+1)^n-1/(n+1)!

  Σn+2Ck+1(n-k+1)^(n-k)(k+1)^k,k=0~n

=(n+2)!Σ(n-k+1)^(n-k)/(n-k+1)!・(k+1)^k/(k+1)!

=(n+2)!{((n+1)^n/(n+1)!・1/1!+・・・+1/1!・(n+1)^n/(n+1)!}

=(n+2)!{((n+1)^n-1/n!・1/1!+・・・+1/1!・(n+1)^n-1/n!}

=2(n+1)(n+2)^nとなるためには,

(n+1)^n-1/n!・1/1!+・・・+1/1!・(n+1)^n-1/n!=2(n+1)(n+2)^n/(n+2)!を証明しなければならない.

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[雑感]時間をおいて考えてみたが,やはり先には進めない.これまで書かなかったことを書いてみる.

 体積公式

  Vn=ΣbjNjHj/n・Vn-j-1Λj

が正しければ,表面積公式

  Sn=ΣbjNj・Vn-j-1Λj

も当然正しいことになる.

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