Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ−１

＝（ｎ＋１）！Σ（ｎ−ｋ）^(n-k-1）／（ｎ−ｋ）！・（ｋ＋１）^k／（ｋ＋１）！

＝（ｎ＋１）！｛ｎ^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・ｎ^n-1／ｎ！｝

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1

が成り立つことも帰納的に証明するしかなさそうである．

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　Σ（ｎ−ｋ）^(n-k-1）／（ｎ−ｋ）！・（ｋ＋１）^k／（ｋ＋１）！

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1／（ｎ＋１）！が成り立つと仮定する．そして，

　ｎ→ｎ＋１，ｋ→ｋ，ｋ＝０〜ｎ

とした式が＝２（ｎ＋１）（ｎ＋２）^nとなることを示せばよい．

　　Σn+2Ｃk+1（ｎ−ｋ＋１）^(n-k）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ

＝（ｎ＋２）！Σ（ｎ−ｋ＋１）^(n-k）／（ｎ−ｋ＋１）！・（ｋ＋１）^k／（ｋ＋１）！

＝（ｎ＋２）！｛（（ｎ＋１）^n／（ｎ＋１）！・１／１！＋・・・＋１／１！・（ｎ＋１）^n／（ｎ＋１）！｝

＝（ｎ＋２）！｛（（ｎ＋１）^n-1／ｎ！・１／１！＋・・・＋１／１！・（ｎ＋１）^n-1／ｎ！｝

となって，先が続かない．

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