【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^2/3

　ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．

　下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．

　　Ｒ（ｒ）＝πｒ^2＋Ｏ（ｒ^1/2）

　同じ問題を３次元球についても考えることができる．→コラム「平面上の格子点」参照．標準単体，超立方体，正軸体などについての格子点問題は，コラム「スターリングの公式の図形的証明？」（その７−９）参照．

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【２】円被覆定理

　ここでは半径１の円の円周をその円周上に中心をもつ半径ｒの円板で覆うのに必要な円板の個数νを求めてみることにします．

　半径ｒの円を考えると，２円の中心間距離が２ｒより小さいとき２つの円は互いに重なり合うことになります（２ｒで接し，２ｒより大きいと離れる）．しかし，この問題では単純に重なり合うだけではないのでもう少し複雑な計算が必要になります．円板の中心が円周のｎ等分点にあるとして，隣の円との交点が単位円周上の連接する２ｎ等分点になければなりません．

　半径ｒの円板の中心を結ぶ弦に対する単位円の中心角をθとすると，円周角はθ／２，したがって，劣弧に対する円周角はπ−θ／２となって，

　　ｃｏｓ（θ／２）＋ｒｃｏｓ（π／２−θ／４）＝１

　　１−２｛ｓｉｎ（θ／４）｝^2＋ｒｓｉｎ（θ／４）＝１

　　ｓｉｎ（θ／４）＝ｒ／２

　　θ＝４ａｒｃｓｉｎ（ｒ／２）＝２ａｒｃｃｏｓ（（２−ｒ^2）／２）

　単位円周を被覆するのに必要な円板の個数νは２πをθで割った答えを切り上げて得られますから，［・］をガウス記号として−［−２π／θ］より

　　ｒ≧２のとき，ν＝１

　　√２≦ｒ＜２のとき，ν＝２

ｒ＜√２のとき，ν＝−［−π／２ａｒｃｓｉｎ（ｒ／２）］

で与えられることがわかります．以下，数値計算で求めると

　　1.00≦ｒのとき，ν＝３ 　　0.45≦ｒのとき，ν＝７

　　0.77≦ｒのとき，ν＝４ 　　0.40≦ｒのとき，ν＝８

　　0.62≦ｒのとき，ν＝５ 　　0.35≦ｒのとき，ν＝９

　　0.52≦ｒのとき，ν＝６ 　　0.32≦ｒのとき，ν＝10

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　ところで，１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．次に円が重なることは許す代わりに，円の中心が他の円の外にあるという条件をつけてｒ＝１の円被覆問題を考えることができます．

　　［参］吉川敦「無限を垣間みる」牧野書店

には多くの円被覆問題が掲載されていますが，ここでは結果だけを紹介することにします．

(1)原点から１．４３の距離にある半径１の円板８個は単位円周を被覆することができる．９個にすると中心点が他の円の内部にきてしまう．

(2)中心が他の円の内部に来ないようにして，単位円周を被覆する単位円板を１８個まで配置することができる．

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