（Ｑ）２^n×２^nの格子盤から１個のマス目を切り取ったものは，すべてＬ字型トロミノ

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で覆いつくすことができるか？

（Ａ）２×２から１マス切り取ったものはトロミノであるから，ｎ＝１のとき覆いつくすことができることは明らか．ｎのとき覆いつくすことができると仮定して，２^n+1×２^n+1の格子盤から１マス切り取ったものを考える．

　この格子盤を４等分して，中央部から

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を取り去ると，１マス取り去られた２^n×２^nの格子盤が４つできる．仮定より，これら４つの格子盤はトロミノで覆いつくすことができるから４つ合わせれば任意の１マスを切り取った２^n+1×２^n+1の格子盤になる．

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　こうして数学的帰納法による証明が完了したというわけであるが，ところで２^n×２^n−１が３で割り切れることが問題の前提条件として必要である．フェルマーの小定理より

　　２^n×２^n＝４^n＝１　　　（ｍｏｄ　３）

であるが，連続するｋ個の整数の積がｋ！で割り切れることを使えば（フェルマーの小定理のごとき牛刀をもちだすまでもなく）３で割り切れることを証明することができる．

　　（２^n−１）２^n（２^n＋１）は６で割り切れる

　→（２^n−１）（２^n＋１）は３で割り切れる

　→２^n×２^n−１は３で割り切れる

　２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れるとする方が簡単かももしれない．

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［補］実は，Ｌ字型トロミノには，２^n×２^nのマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型トロミノを使ってカバーできる．これはＬ字型トロミノの有名な性質で，数学コンテストで何度も取り上げられたことがある．

　証明は簡単で，数学的帰納法による．すなわち，

［１］２×２のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型トロミノを使ってカバーできる．

［２］４×４のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型トロミノを使ってカバーできる．（４×４のマス目の中央部にＬ字型がくるようにする）

［３］８×８のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型トロミノを使ってカバーできる．（８×８のマス目の中央部にＬ字型がくるようにする）

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（Ｑ）８×８の格子盤から１個のマス目を切り取ったものは，すべてＩ字型トロミノ

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で覆いつくすことができるか？

（Ａ）８×８の格子盤を３色で塗る分けると，赤マズ２２個，白マス２１個，青マス２１個個ある．したがって，対称性を考えると（３，３），（３，６），（６，３），（６，６）の４つのいずれかを切り取ったときにだけ，覆いつくすことができる．それに対して，Ｌ字型トロミノの場合はどのマスを切り取っても覆いつくすことができるというわけである．

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