接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．シュタイナーの定理とは「小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．」というものである．

　シュタイナーの定理では，円鎖がうまく閉じるはどうかに関わらず，円鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にある．シュタイナーの定理でｎ→∞とすると，アルキメデスのアルベロスになる．アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パップス）．

　シュタイナーの定理とポンスレーの定理に共通する特徴は，２つの円が同心円ならば自明であるということである．ポンスレーの定理が成り立つような２円を見つけることは容易ではないが，シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．

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　シュタイナーの定理が使いにくいのは，はじめの２つの円の中心間距離の条件（オイラー・フース型定理）が与えられていないためである．ここでは

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

として，シュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理を紹介する．

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと，

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，ｄ＝０ならば

　　（ｒ−ｓＲ）（ｒ−Ｒ／ｓ）＝０

となるが，ｒ＝Ｒ／ｓは大円と小円が逆転するのでｒ＝ｓＲ．また，ｓ＜１／ｓより，ｒはｄ＝０のとき最大値ｓＲをとる．

　なお，

　　ｓ＋１／ｓ−２＝（√ｓ−１／√ｓ）^2

より，不等式

　　ｓ＋１／ｓ−２≧ｓ−２　　　　（ｓ≧２）

　　ｓ＋１／ｓ−２≧０　　　　　　（１／２≦ｓ≦２）

　　ｓ＋１／ｓ−２≧１／ｓ−２　　（０＜ｓ≦１／２）

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