２次方程式から３次方程式までは約３千年の時間を要したのですが，それに比べて，４次方程式の解法は非常に短時間でなされたことになる．

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【１】４次方程式の解法（オイラーの方法）

　引き続いて，４次方程式：

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ＝０

では，ｘ＝ｕ−ｂ／４ａとおけば，

　　ｕ^4＋ｐｕ^2＋ｑｕ＋ｒ＝０

　　ｐ＝（８ａｃ−３ｂ^2）／８ａ^2

　　ｑ＝（ｂ^3−４ａｂｃ＋８ａ^2ｄ）／８ａ^3

　　ｒ＝（−３ｂ^4＋１６ａｂ^2ｃ−６４ａ^2ｂｃ＋２５６ａ^3ｅ）／２５６ａ^4

というように３次の項を欠いたｕに関する４次方程式が得られます．カルダノ変換によって，まず３次の項を消すのです．

　また，因数分解の公式

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

は，巡回行列式

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　Δ＝｜ｃ　ａ　ｂ｜＝ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　　　　｜ｂ　ｃ　ａ｜

より得られるのですが，それと同様に，

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ　ｄ｜

　　Δ＝｜ｄ　ａ　ｂ　ｃ｜

　　　　｜ｃ　ｄ　ａ　ｂ｜

　　　　｜ｂ　ｃ　ｄ　ａ｜

　　　＝ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−２（ａ^2ｂ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｂ^2ｄ^2＋ｃ^2ｄ^2）＋８ａｂｃｄ

　　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ−ｃ−ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ−ｄ）（ａ−ｂ−ｃ＋ｄ）

と因数分解できることを利用することにしましょう．

　　ｕ^4−２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）ｕ^2＋８ｘｙｚｕ＋ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4−２（ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2ｚ^2＋ｙ^2ｚ^2）

　＝（ｕ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｕ−ｘ−ｙ＋ｚ）（ｕ−ｘ＋ｙ−ｚ）（ｕ＋ｘ−ｙ−ｚ）

すなわち，ｕの４次式でｕ^3の項を欠いており，因数分解できる恒等式となっています．読者のなかにはこの式に対称の美を感じる人もいるのでしょうが，それにしてもずいぶん荘厳な（いかめしい）式です．

　ともあれ，

　　ｐ＝−２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2），

　　ｑ＝８ｘｙｚ，

　　ｒ＝ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4−２（ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2ｚ^2＋ｙ^2ｚ^2）

なるｘ，ｙ，ｚが見いだされれば，解は

　　ｕ＝−ｘ−ｙ−ｚ

　　ｕ＝ｘ＋ｙ−ｚ

　　ｕ＝ｘ−ｙ＋ｚ

　　ｕ＝−ｘ＋ｙ＋ｚ

となることがわかります．

　ここで，Ｘ＝ｘ^2，Ｙ＝ｙ^2，Ｚ＝ｚ^2とおけば，

　　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝−ｐ／２

　　ＸＹＺ＝（ｑ／８）^2

　　ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＝｛（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）^2−（ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4）｝／２＝（ｐ^2／４−ｒ）／４

より，Ｘ，Ｙ，Ｚは

　　Ｕ^3＋ｐ／２Ｕ^2＋（ｐ^2／４−ｒ）／４Ｕ−ｑ^2／６４＝０

の解ということになりますから，３次方程式の根の公式に帰着され，係数で具体的に表せることが理解されます．

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【２】４次方程式の解法（フェラーリの方法）

　以上が３次方程式の解法に類似したオイラーの方法ですが，４次方程式の解法を初めて発見したのはフェラーリですからから，その解法も述べておかなければなりません．

　３次の項を欠いた４次方程式

　　ｕ^4＋ｐｕ^2＋ｑｕ＋ｒ＝０

すなわち，

　　ｕ^4＝−ｐｕ^2−ｑｕ−ｒ

の両辺に２次式：２ｖｕ^2＋ｖ^2を加えて，

　　ｕ^4＋２ｖｕ^2＋ｖ^2＝（２ｖ−ｐ）ｕ^2−ｑｕ＋ｖ^2−ｒ

とすると，左辺は（ｕ^2＋ｖ）^2となって完全平方になります．

　右辺の２次式は，判別式

　　Ｄ＝ｑ^2−４（２ｖ−ｐ）（ｖ^2−ｒ）＝０

のとき完全平方になりますから，Ｄ＝０が成り立つようにｖを定めると

　　ｕ^2＋ｖ＝±√（２ｖ−ｐ）｛ｕ−ｑ／２（２ｖ−ｐ）｝

と変形され２つの２次方程式に帰着されます．

　Ｄ＝０の式を，ｖについて整理すると，

　　８ｖ^3−４ｐｖ^2−８ｒｖ＋（４ｐｒ−ｑ^2）＝０

の解として求まることになりますから，結局，フェラーリは次数４の方程式は２次方程式と３次方程式に帰着させることができ，したがって平方根と立方根によって解けることを発見したのです．

　フェラーリの方法は平方完成によるものですが，図形的に解釈すると，４次元の超立方体の分割によるものではなく，正方形の分割を２度適用することに基づいています．

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【３】４次方程式の解法（デカルトの方法）

　それに対して，デカルトの方法とは

　　ｕ^4＋ｐｕ^2＋ｑｕ＋ｒ＝（ｕ^2＋ｋｕ＋ｌ）（ｕ^2−ｋｕ＋ｍ）

と２つの２次方程式に因数分解する方法です．

　両辺の係数を比較すると，

　　ｌ＋ｍ−ｋ^2＝ｐ

　　ｋ（ｍ−ｌ）＝ｑ

　　ｌｍ＝ｒ

より

　　ｌ＝（ｐ＋ｋ^2−ｑ／ｋ）／２

　　ｍ＝（ｐ＋ｋ^2＋ｑ／ｋ）／２

　ｌ，ｍを消去すると

　　ｋ^6＋２ｐｋ^4＋（ｐ^2−４ｒ）ｋ^2−ｑ^2＝０

この方程式は６次方程式ですが，ｋ^2＝Ｋとおけば，Ｋについての３次方程式になりますから解くことができ，したがって，

　　（ｕ^2＋ｋｕ＋ｌ）（ｕ^2−ｋｕ＋ｍ）＝０

の解として求まることになります．

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