四辺形ＡＢＣＤの２組の対辺の延長の交点をＥ，Ｆ，対角線ＢＤの中点をＬ，対角線ＡＣの中点をＭ，線分ＥＦの中点をＮとすれば，３点Ｌ，Ｍ，Ｎは一直線上にある．

　この定理をニュートンの定理，この共線をニュートン線という．また，図形ＡＢＣＤＥＦを完全四角形，線分ＡＣ，ＢＤ，ＥＦをその対角線という．

　この言葉を使えば，ニュートンの定理は「完全四角形の３つの対角線の中点は同一直線上にある」と言い表すことができる．

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　次の共線定理もニュートンの定理という．

　円Ｏに外接する四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤの中点をそれぞれＬ，Ｍとすれば，３点Ｌ，Ｍ，Ｏは一直線上にある．

［補］四角形が内接円をもつとき，四角形の内接円の半径は

　　ｒ＝｛（ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｅ＋ｈｅｇ）／（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）｝^1/2

となる．

　　Ｓ＝１／２・２（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）・ｒ

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　最後に，シュタイナーの円の中心の軌跡が楕円となることを証明したい．

　半径Ｒの円Ｆの内部に半径ｒの円ｆがある．円Ｆに内接し，円ｆに外接する円の中心をＰ，半径をｘとすると

　　ＰＦ＝Ｒ−ｘ，Ｐｆ＝ｒ＋ｘ

　　ＰＦ＋Ｐｆ＝Ｒ＋ｒ

　したがって，点Ｐの軌跡はＦ，ｆを焦点とし，この２点からの距離の和がＲ＋ｒとなる楕円である．

系：アルベロス（靴屋のナイフ）の円の中心の軌跡は楕円となる．

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