２^n＋２ｎ胞体は切頂型なので，切頂点周囲に集まるｎ−１胞体の数を求めたい．そのためには，原正多胞体の０次元面とｎ−１次元面を求められればよいことになる．前者は面数公式から，後者はその反転公式から求められると思う．

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【１】面数公式

　ｎ次元正単体，正軸体，蝶立方体のｋ次元胞の数を表す公式は古くから知られており，Coxeter, Regular Polytopesにも表がついています．

［１］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数は（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

［２］ｎ次元正軸体については，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）です．

［３］ｎ次元超立方体はこの双対で，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

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【２】反転公式

　目的の点（点あるいは辺の中点）に隣接する胞の数も，２項係数を活用して求めることができると思われる．

［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

です．

　なお，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　（ｋ＋１，ｍ＋１）

個になります．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→（３，２）＝３　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→（３，１）＝３　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→（２，１）＝２　　　（ＯＫ）

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

　ｎが小さい例で検してみると

［ａ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝１→２（２，１）＝４　　　（ＯＫ）

［ｂ］ｎ＝３，ｋ＝０，ｍ＝２→４（２，２）＝４　　　（ＯＫ）

［ｃ］ｎ＝３，ｋ＝１，ｍ＝２→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

［ｄ］ｋ＝ｎ−２，ｍ＝ｎ−１→２（１，１）＝２　　　（ＯＫ）

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【３】２次元｛４｝（１０）

　ｔｐ＝０として，（ｎ＋１，ｋ＋１）のｎ←ｔｐ，ｋ←０を代入すると

　　（ｔｐ＋１，１）＝ｔｐ＋１＝１

しかし，これはｎ−１次元面ではないので例外的に扱かったほうがいいかもしれない．

　ｆｐ＝０として，２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）のｋ←ｆｐ，ｍ←ｎ−１を代入すると

　　２^n-1-fp（ｎ−１−ｆｐ，ｎ−１−ｆｐ）＝２^n-1-fp

　　ｎ＝２より２となる．

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【４】３次元｛３４｝（１１０）

　ｔｐ＝０として，（ｎ＋１，ｋ＋１）のｎ←ｔｐ，ｋ←０を代入すると

　　（ｔｐ＋１，１）＝ｔｐ＋１＝１

　ｆｐ＝１として，２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）のｋ←ｆｐ，ｍ←ｎ−１を代入すると

　　２^n-1-fp（ｎ−１−ｆｐ，ｎ−１−ｆｐ）＝２^n-1-fp

　　ｎ＝３より２となる．

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【５】４次元｛３３４｝（０１００）

　ｔｐ＝１として，（ｎ＋１，ｋ＋１）のｎ←ｔｐ，ｋ←０を代入すると

　　（ｔｐ＋１，１）＝ｔｐ＋１＝２

　ｆｐ＝１として，２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）のｋ←ｆｐ，ｍ←ｎ−１を代入すると

　　２^n-1-fp（ｎ−１−ｆｐ，ｎ−１−ｆｐ）＝２^n-1-fp

　　ｎ＝４より４となる．

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【６】まとめ

［１］奇数次元

　　ｔｐ＋１＋２^n-1-fp，ｆｐ＝ｔｐ＋１より，ｔｐ＋１＋２^n-tp-2

　　それに１を加えると，ｔｐ＋２＋２^n-tp-2

［２］偶数次元

　　ｔｐ＋１＋２^n-1-fp，ｆｐ＝ｔｐより，ｔｐ＋１＋２^n-tp-1

　　それに２を加えると，ｔｐ＋３＋２^n-tp-1

　　ｎ＝２のときは例外であって，ｔｐ＋２＋２^n-tp-1

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