１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

はフィボナッチ数列（ａn＝ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．フィボナッチ数列の項比は

　　φ＝（１＋√５）／２

にどんどん近づいていくことはよく知られていますが，√２に収束する数列とは？

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　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．

　√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２＝ａ／ｂ，すなわち，ａ^2＝２ｂ^2であれば√２そのものになりますが，これを満たす整数はありません．そこで，

　　ａ^2−２ｂ^2＝±１

を満たす整数を考えます．

　（ａ，ｂ）＝（３，２）が最小解ですが，以後（７，５），（１７，１２），・・・と続きます．この数列のある項をａ／ｂとすれば，次の項は

　　（ａ＋２ｂ）／（ａ＋ｂ）

となり，（ａ，ｂ）＝（３，２），（７，５），（１７，１２），（４１，２９），（９９，７０），（２３９，１６９）・・・と続いていきます．

　このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になって，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．

　なお，フェルマー・ワイルスの定理より

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n

に整数解が存在するのは，ｎ＝１と２の場合だけです．したがって，ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3になるような３つの整数ａ，ｂ，ｃを見つけることはできませんが，誤差±１を許すことにすると

　　６^3＋８^3＝９^3−１

のようにぎりぎりこれに近い式を見つけることができます．

　（６，８，９）ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3をほぼ満たすのですが，厳密には等しくなる整数を見つけることはできないというわけです．

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