任意の素数ｐnまでの素数をすべて掛け合わせ，それに１を足して得られる数は，素数は無限に存在するというユークリッドの証明に使われるため，ユークリッド数よ呼ばれる．

　　Ｎ＝ｐ1ｐ2・・・ｐn＋１

によって，素数が与えられることはよくある．

　　Ｎ1＝２　　（素数）

　　Ｎ2＝２＋１＝３　　（素数）

　　Ｎ3＝２・３＋１＝７　　（素数）

　　Ｎ4＝２・３・５＋１＝３１　　（素数）

　　Ｎ5＝２・３・５・７＋１＝２１１　　（素数）

　　Ｎ6＝２・３・５・７・１１＋１＝２３１１　　（素数）

　　Ｎ7＝２・３・５・７・１１・１３＋１＝３００３１＝５９・５０９　　（非素数）

　ｐn＝１３の場合は素数ではなく合成数である．ユークリッド数によって，素数が与えられることはよくあるといったが，実は素数であるユークリッド数は非常に珍しい．ｐn＝１１の次に登場するのはｐn＝３１，その次はｐn＝３７９，ｐn＝１０１９，ｐn＝１０２１，・・・と続く．

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　ユークリッド数を次の漸化式により定義する．

　　ｅn＝ｅ1ｅ2・・・ｅn-1＋１

　　ｅ1＝１＋１＝２　　（素数）

　　ｅ2＝２＋１＝３　　（素数）

　　ｅ3＝２・３＋１＝７　　（素数）

　　ｅ4＝２・３・７＋１＝４３　　（素数）

　　ｅ5＝２・３・７・４３＋１＝１８０７＝１３・１３９　　（非素数）

　　ｅ6＝２・３・７・４３・１８０７＋１＝３２６３４４３　　（素数）

　　ｅ7〜ｅ17　　（非素数，多分残りのｅnも非素数）

　ユークリッド数はすべて互いに素数である．今回のコラムでは，ユークリッド数を表す閉じた公式

　　ｅn＝［Ｅ^2^n×１／２］，Ｅは定数でＥ〜１．２６４

を紹介する．

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　　ｅn＝ｅ1ｅ2・・・ｅn-2ｅn-1＋１＝（ｅn-1−１）ｅn-1＋１＝ｅn-1^2−ｅn-1＋１

　　ｅn−１／２＝（ｅn-1−１／２）^2＋１／４

　　ａn＝２^-nｌｏｇ（ｅn−１／２）

　　ｂn＝２^-nｌｏｇ（ｅn＋１／２）

とすると

　　ｅn＝［Ｅ^2^n＋１／２］

は，ａn≦Ｅ＜ｂnと等価である．しかも，

　　ａn-1＜ａn＜ｂn＜ｂn-1

であるから，ｎ→∞のとき，ｅｘｐ（ａn）＝Ｅとすればよい．

　さらに，

　　Ｅ^2＝３／２・Π（１＋１／（２ｅn−１）^2）^1/2^n〜（１．２６４０８４７３５３０５３０１１１）^2

　この式から作り出されるすべてのユークリッド数は定数Ｅのなかにそっと埋め込まれている．ユークリッド数に依存しない別のＥの式を見つけない限り，ユークリッド数が実際に何なのかはわからないのである．

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