２^n＋２ｎ胞体の頂点次数ではなく，頂点周囲に集まるｎ−１胞体の数を求めたい．正２４胞体の場合はｎ−１胞体が１種類なのでわかりやすかったが，難問になることは避けられない．

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［１］ｎ＝５のとき，｛３３３４｝（０１１００）

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5とＰ4−Ｐ−Ｐ6でｃｏｓθ＝０となるが，実際に正方形面を作るのではなく，切頂面にできる正八面体の赤道となる．したがって，点Ｐは５枚の正三角形と４枚の正六角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５／３＋４／６）・ｆ0＝７ｆ0／３

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）１個と切頂四面体（頂点数１２）４個である．

　　ｆ3＝（１／６＋４／１２）・ｆ0＝ｆ0／２

　ｆ0＝２４０，ｆ1＝３ｆ0，ｆ2＝７ｆ0／３，ｆ3＝ｆ0／２となって，オイラー・ポアンカレの公式を満たす．

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［２］ｎ＝６のとき，｛３３３３４｝（００１０００）

　この場合も実際に正方形面や正六角形面を作るのではなく，したがって，点Ｐは５４枚の正三角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５４／３）・ｆ0＝１８ｆ0

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）３６個と四面体（頂点数４）３０個である．

　　ｆ3＝（３０／４＋３６／６）・ｆ0＝２７ｆ0／２

　　ｆ0＝１６０，ｆ1＝９ｆ0，ｆ2＝１８ｆ0，ｆ3＝２７ｆ0／２となるが，オイラー・ポアンカレの公式を満たすためには，

　　ｆ4＝７ｆ0／２＋７６＝６３６

である必要がある．

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