もう少し「十字環問題」を続けてみよう．

　この問題では，円柱と円環体の交差部分に円柱を山形に切った図形がでてくるが，その部分の体積はｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径として，

　　ｙ^2＝−２ｒ1ｘ＋ｒ1^2　　（ｚ軸方向から見ると放物線）

　　ｚ＝ｒ0→ｘ＝０，ｙ＝ｒ1

　　ｚ＝０→ｘ^2＋ｙ^2＝（ｒ1−ｒ0）^2，ｘ＝ｒ0→ｙ^2＝−２ｒ0ｒ1＋ｒ1^2

　円柱と円環体の交差線は

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｘ^2＋ｚ^2＝ｒ0^2（あるいはｙ^2＋ｚ^2＝ｒ0^2）

より

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＝ｘ^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝±ｘ＋ｒ1

　　ｙ^2＝−２ｒ1ｘ＋ｒ1^2＝ｙ0^2とおく．

さらに

　　ｚ^2＝ｒ0^2−｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2

＝ｒ0^2−｛（ｘ^2−２ｒ1ｘ＋ｒ1^2）^1/2−ｒ1｝^2＝ｚ0^2とおく．

　知りたい部分の体積はｘ^2＋ｚ^2^2＝（ｒ1−ｒ0）^2の領域で重積分することによって求めることができるとおもわれるが，ここでは

　　山形＋円柱の体積：Ｖ1＝１６∫(0,r0)ｙ0ｚ0ｄｘ

とおくことにする．

トーラスの体積：Ｖ2＝２π^2ｒ1ｒ0^2

円柱の体積：Ｖ3＝２πｒ0^2・｛（ｒ1−ｒ0）^2−ｒ0^2｝^1/2

円柱の共通部分：Ｖ4＝２／３・ｄ^3＝１６／３・ｒ0^3

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